无穷级数知识点介绍 整理人王浩

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1、专转本专题知识点----------无穷级数数项级数定义1设给定一个数列则和式（11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为,即=其中，第项称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前项和称为式（11.1）的前项部分和。当依次取1，2，3，...时，部分和构成一个新的数列，数列也称为部分和数列定义2若级数的部分和数列有极限S，则称级数收敛，称S是级数的和，即如果部分和数列没有极限，则称为级数发散数项级数的性质（1）若级数和级数都收敛，它们的和分别为和，则级数也收敛，且其和为（1）若级数收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的

2、级数也收敛，且其和为kS（2）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（3）若级数收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（4）（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则综上所述，几何级数的敛散性调和级数的敛散性发散数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一．正项级数正项级数：若级数=满足条件，则称此级数为正项级数定理1正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界定理2（比较判别法）若级数和级数为两个正项级数，且，那么：（1）若级数收敛时，级数也收敛（2）若级数发散时，级数也发散那么的敛散性是定

3、理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数（）满足条件则（1）当时，级数收敛（2）当时，级数发撒（3）当时，无法判断此级数的敛散性一．交错级数级数（）称为交错级数定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数（）满足下列条件（1）（2）则交错级数收敛，其和其余项的绝对值二．绝对收敛和条件收敛若级数的各项为任意实数，则称级数为任意项级数定义如果任意项级数的各项绝对值组成的级数收敛，则称级数绝对收敛；如果发散，而收敛，则称级数条件收敛定理5如果级数绝对收敛，则级数必收敛定理6如果任意项级数满足条件（1）当时，级数绝对收敛（2）当时，级数发撒幂级数定义1如果是定义在某个

4、区间I上的函数，则称函数（11.4）为区间I上的函数项级数定义2形如（11.5）的级数称为的幂级数，其中均为常数，称为幂级数的系数。当时，级数（11.6）称为x的幂级数定义3对于形如式（11.6）的幂级数若设，则根据任意项级数判别法可知：（1）当时，若，即，式（11.6）绝对收敛若，即，式（11.6）发散若，即，则比值判别法失效，式（11.6）可能收敛也可能发散（2）当，由于，式（11.6）对任何x都收敛称为幂级数式（11.6）的收敛半径定理1如果幂级数的系数满足条件，则（1）当时，（2）当时，（3）当时，幂级数的性质设幂级数与的收敛半径分别是与

5、（与均不为0），它们的和函数分别为与1.（加法与减法运算）所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是与中较小的一个2.（乘法运算）两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是与中较小的一个3.（微分运算）若幂级数的收敛半径R，则在（-R,R）内和函数S(x)可导，且有且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R4.（积分运算）若幂级数的收敛半径R，则和函数S(x)在该区间内可积，且有且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为R函数展成幂级数1.泰勒级数设在处任意阶可导，则幂级数称为在处的泰勒级数2.麦克劳林公式当时，级数称为的麦克劳林级数3.几个常见的麦克劳林展开

6、式①②③④⑤⑥⑦