三十七 简单的立体图形

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1、三十七简单的立体图形　　在我们生活的空间中有许多物体，如果把它们画在纸平面上就叫作立体图形．立体图形千差万别，形态各异，甚至有的非常复杂．下面我们只研究图37－1中的几种简单的立体图形，它们的名称就列在图的下面．　　图37-1　　也许有的同学会好奇地问，世界上有那么多物体，为什么只研究这几种呢？我们的回答是：（1）这几种立体图较简单，便于研究；（2）日常生活中很多物体的形状都为这几种图形，如书本、各种柜子、电冰箱为长方体，瓶子、桶、各种笔杆为圆柱体，……；（3）当把这几种立体图形研究好了后，就可以解决许多复杂立

2、体图形的问题了．因为那些复杂图形大多是由这几种简单图形组合起来的．　　顺便指出：即使是这几种“简单”立体图形，其性质也是很复杂的．本节讨论的只是如何从平面看立体、立体计数，巧算面积、体积等简单内容．　　与解决平面图形问题不同的是，解决立体图形的问题不能仅靠直观，而是需要较丰富的想象力．请同学们张开思维和想象的翅膀吧！问题37．1用平面图37－2可以围成怎样的几何体？试从图37－3中选出这个几何体．分析因为由图37－2围成了立体图后，虽位置发生了一定变化，但有一个正方形和4个三角形这点是不变的，故应选（3）．问题

3、37．1所反映的思路在生产和日常生活中是非常有用的．比如用白铁皮作成一个物体（如水桶、烟筒帽或机器零件等），要按图纸把铁皮剪成一定形状，再做成物体．相反地，为了计算一个物体的表面积，要把物体的表面沿边沿剪开，展在平面上去计算．这就表明：把平面图形和空间图形相互转化是研究立体图形的有效手段．　　有时为了深入地了解一个物体的全貌，我们要从各个角度对物体进行观察．准确地说，就是从前、后、左、右、上、下六个方向对物体进行观察，渐渐地，人们发现，只要从前、上、右三个方向观察就能达到全面了解事物的目的．从每一个方向观察都会

4、看到一个形状（平面图形），我们分别把它们叫前视图、上视图和右视图．把三个视图中取二个或三个组成的图形组分别叫二视图或三视图．问题37．2图37－4是由前、上视图构成的二视图．试从图37－5中选出和它对应的立体图形来．分析因为图（1）的上视图为圆和圆中一点；图（2）的前视图为圆而不是矩形；图（3）的上视图为圆环，故应选（4）．　　从问题37．2可见，对于不太复杂的立体图，只需要二视图就足以了解它的全貌了．这自然提出了一个问题，是否所有物体都能用二视图去认识呢？答案是否定的．问题37．3图37－6中的两个立体图形是

5、两个相同的长方体分别挖去一个长方体洞和一个圆柱洞而得到的．问能否用二视图去认识它们？若不能，请画出各自的三视图．　　图37-6分析不妨取前、上二视图来考察，发现图37－6中两个立体图的二视图都是图37－7（3），故不能用二视图去认识它们．　　它们的三视图分别如图37－7（1）、（2）所示．　　图37-7　　用三视图去认识立体图形，实际上也是把立体问题转化为平面问题（即把平面图形在头脑中“立起来”）．这再一次表明了：把平面问题与空间问题相互转化，确实是研究立体图形的重要思想方法．问题37．4图37－8是一个正方体

6、，如果它的每个面划分为16个相同的正方形，那么它共划分为多少个长方体？多少个正方体？　　图37-8分析因为底ABCD的两条边AD、AB上各有4条单线段，由第七节问　　面上每一个固定的长方形，给它配一个高（即配AE方向上的一条线段）就得到一个长方体．而AE上有10条线段，故图中共有100×10=1000个长方体．　　若把每个小正方体的体积视作1，那么对图中所含的正方体，其体积显然只能为1、8、27、64．下面以体积为标准分类计数．　　1类：体积为1的正方体共有43个．　　2类：体积为8的正方体共有33个．〔事实上

7、，在底面ABCD上，面积为4（长=宽=2）的正方形共有32个，而AE上长为2的线段有3条．故体积为8的正方体共有32×3=33个．〕　　同样可以得到：　　3类：体积为27的正方体有23个．　　4类：体积为64的正方体有13个．　　即所有正方体共13+23+33+43=100个．　　显然，本问题是问题7．8向立体空间的推广，你能把这个结论作进一步的推广吗？问题37．5（1）长、宽、高分别为m、n、h个单位的长方体切成全为单位体积的正方体，组成m×n×h的立方体网．问此网中含有多少个长方体？　　（2）在n×n×n的

8、立方体网中，含有多少个正方体？问题37．6一个正方体形状的木块，棱长1米．沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如图37－9．这60块长方体表面积的和是多少平方米？　　图37-9分析按常规思路，应将60个木块拿来逐个求表面积，然后再累加起来即得其解．但这样做太繁琐，何况各木块的厚薄宽窄都不尽相同，也无法知道其值．故按这种思路计算不但复