两点定线方程寻根

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1、题根研究两点定线方程寻根一、两点式直线方程的定义式直线本无定义，而我们在这里要为直线方程作定义，意义在把“两个条件确定一条直线”提到直线的奠基的高度.“两点线”是平面几何的说法：平面上的不同两点可确定1条直线.“两点式”则是解析几何的概念：平面上的不同两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)确定的直线方程为：(x－x1)(y2－y1)=(y－y1)(x2－x1)该方程称作直线方程的“两点式”，它把直线所需要的2个条件带进了解析几何.当x1≠x1，且y1≠y2时，直线方程的两点式还可以写成以下“分式形式”：

2、【例1】已知四边形四个顶点坐标为A(－1，2)，B(－1，3)，C(2，－3)，D(2，－4).在这个四边形的四条边中，有没有垂直于x轴的直线和过原点的直线？【解析】对AB边，代x1=－1，y1=2，x2=－1，y2=3于直线方程的两点式：(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)得AB方程为x=－1同理得BC方程为(y－3)(2+1)=(x+1)(－3－3)即2x+y-1=0CD方程为x=2AD方程为2x+y=0垂直于x轴的直线有AB，CD，过原点的直线有AD.【说明】两点确定一条直线，在解析

3、几何中，是由两点的坐标确定这条直线的方程，或者说，由两个“有序数对”确定一条直线的方程.二、点斜式直线方程的点向式在直线的两点式方程(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)（Ⅰ）-6-中，若x1≠x2，即直线与x轴不垂直，此时由直线的两点式变为（Ⅱ）我们称方程（Ⅱ）为直线的“点斜式方程”.它经过平面上的定点P1(x1，y1)且斜率为代k于（Ⅱ），则有直线点斜式的“标准形式”y－y1=k(x－x1)（Ⅲ）平面上不垂直于x轴的直线都有斜率，因此它们都能用“点斜式”方程表示.直线方程在由两点式向点斜

4、式演变过程中看到，直线的斜率替代了两点式中的1个点，确定直线的两个条件没变.直线的点斜式实为直线的“点向式”：一个点和一个方向，可以确定一条直线.这个斜率k可以为任意实数值（包括k的极限+∞在内），可与直线的倾斜角（0≤α<）建立一一映射.而直线的倾斜角与直线（向上）的方向是一一映射的，于是直线的（一个）方向与（一个）实数建立了一一映射.也就是说直线的斜率k把直线的方向实现了数字化.【例2】求过点（m，n）和点（a，2）的直线方程；并讨论直线在坐标轴上的截距.【解答】当a=m时，过点（m，-1）和（2，2）

5、的直线垂直于x轴，直线的斜率不存在，其直线方程为x=m（或a）.直线的横截距为m，纵截距不存在.当a≠m时，得直线点斜式方程当x=m时，得直线纵截距为y=-1.当y=-1时，n≠2，则有横截距x=m；n=2时，则无横截距.【说明】以斜率为参数，可将直线分为两类.（1）无斜率的直线与x轴垂直；（2）有斜率的直线与x轴不垂直.过已知点（a，b）的直线：（1）若其斜率为k，则有点斜式方程y-b=k(x-a)；（2）若其斜率不存在，则有“横截距方程”x=a.三、斜截式直线方程的函数式-6-在直线点斜式的“标准形式”

6、y－y1=k(x－x1)中，直线过点（0，b）时，直线方程变为y-b=k（x-0），化简得y=kx+b，这就是直线的斜截式方程，b是直线在y轴上的截距.从函数的角度看直线方程的斜截式，易知斜截式y=kx+b中，y是x的函数.当k0时，是一次函数式；当k=0时，y为常数b（纵截距式）.注意，斜截式不表示垂直于x轴的直线.因此，用斜截式解决直线问题时，必须分类讨论.当斜截式为一次函数式y=kx+b（k0）时，y=kx+b的反函数x=my+c存在，同样，“反函数式”不表示垂直于y轴的直线，但当m=0时，直线垂直于

7、x轴.【例3】已知P（1,0）是椭圆x2+2y2=2内的一点，过点P作椭圆的弦AB，求

8、AB

9、的最小值.解：设过P点直线AB方程为x=my+1，与椭圆方程联立得∴

10、AB

11、2====∴≥即当m=0时,即过P点垂直于x轴的弦AB最小，

12、AB

13、最小值.【点评】本题中已知过P的弦有垂直于x轴的，所以设直线斜截式的反函数形式，避免了讨论弦AB所在直线的斜率不存在的情况.四、截距式直线方程的几何式若直线同时过(0，b)和(a，0)(ab≠0)两点，则由直线方程的斜截式y=kx+b得即.这就是直线方程的截距式.我们称截距

14、式为“几何式”-6-，是因为它的几何特征鲜明，就象椭圆的标准式有鲜明的几何特征一样.有趣的是，我们把直线方程截距式左边的两项分别平方，即得椭圆的标准形式，因此椭圆的标准形式实为椭圆的截距式：令y=0，得椭圆的横截距x=;令x=0，得椭圆的纵截距y=.【例4】一直线过点P（-5，4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线方程.【解答】设所求直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线方程为依题意有因为点