利用excel进行时间序列的谱分析(i)

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1、利用Excel进行时间序列的谱分析（I）在频域分析中，功率谱是揭示时间序列周期特性的最为有力的工具之一。下面列举几个例子，分别从不同的角度识别时间序列的周期。1时间序列的周期图【例1】某水文观测站测得一条河流从1979年6月到1980年5月共计12月份的断面平均流量。试判断该河流的径流量变化是否具有周期性，周期长度大约为多少？分析：假定将时间序列xt展开为Fourier级数，则可表示为(1)式中fi为频率，t为时间序号，k为周期分量的个数即主周期（基波）及其谐波的个数，εt为标准误差（白噪声序列）。当频率fi给定时，式（1）可以视为多元线性回归模型

2、，可以证明，待定系数ai、bi的最小二乘估计为（2）这里N为观测值的个数。定义时间序列的周期图为，(3)式中I(fi)为频率fi处的强度。以fi为横轴，以I(fi)为纵轴，绘制时间序列的周期图，可以在最大值处找到时间序列的周期。对于本例，N=12，t=1,2,…,N，fi=i/N，下面借助Excel，利用上述公式，计算有关参数并分析时间序列的周期特性。第一步，录入数据，并将数据标准化或中心化（图1）。图1录入的数据及其中心化结果17中心化与标准化的区别在于，只需将原始数据减去均值，而不必再除以标准差。不难想到，中心化的数据均值为0，但方差与原始数据

3、相同（未必为1）。第二步，计算三角函数值为了借助式（1）计算参数ai、bi，首先需要计算正弦值和余弦值。取，则频率为（图1）。将频率写在单元格C3-C14中（根据对称性，我们只用前6个），将中心化的数据转置粘贴于第一行的单元格D1-O1中，月份的序号写在单元格D2-O2中（与中心化数据对齐）。图2计算余弦值的表格在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C3)”，回车得到0.866；按住单元格的右下角右拉至O3单元格，得到f=1/12=0.083，t=1,2,…,12时的全部余弦值。在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*

4、C4)”，回车得到0.5；按住单元格的右下角右拉至O4单元格，得到f=2/12=0.167，t=1,2,…,12时的全部余弦值。依次类推，可以算出全部所要的余弦值（在D3-O8区域中）。根据对称性，我们的计算到k=6为止（图2）。注意，这里B1单元格是2π=6.28319（图中未能显示）。在上面的计算中，只要将公式中的“COS”换成“SIN”，即可得到正弦值，不过为了计算过程清楚明白，最好在另外一个区域给出结算结果（在D17-O22区域中，参见图3）。图3计算正弦值的表格第三步，计算参数ai、bi利用中心化的数据（仍然表作xt）计算参数ai、bi。

5、首先算出xtcos2πfit和xtsins2πfit。在D9单元格中输入公式“=D1*D3”，回车得到18.309；按住单元格的右下角右拉至O9单元格，得到f=1/12=0.083，t=1,2,…,12时的全部xtcos2πfit值；加和得39.584，再除以6，即得a1=6.597。在D10单元格中输入公式“=D1*D4”，回车得到10.571；按住单元格的右下角右拉至O10单元格，得到f=2/12=0.083，t=1,2,…,12时的全部xtcos2πfit值；加和得-365.25，再除以6，得到a2=-60.875。其余依此类推。将上面公式中

6、的余弦值换成正弦值，即可得到bi17值（见下表）。上面的计算过程相当于采用式（2）进行逐步计算。第四步，计算频率强度利用式（3），非常容易算出I(fi)值。例如其余依此类推（见图4）。图4计算频率强度第五步，绘制时间序列周期图利用图4中的数据，不难画出周期图（图5）。图5某河流径流量的周期图（1979年6月－1980年5月）第六步，周期识别关键是寻找频率的极值点或突变点。在本例中，没有极值点，但在f1=1/12=0.0833处，频率强度突然增加（陡增），而此时T=1/f1=12，故可判断时间序列可能存在一个12月的周期，即1年周期。17【例2】为了

7、映证上述判断，我们借助同一条河流的连续两年的平均月径流量（1961年6月－1963年5月）。原始数据见下图（图6）。图6原始数据及部分处理结果将原始数据回车时间序列变化图，可以初步估计具有12月变化周期，但不能肯定（图6）。图6径流量的月变化图（1961年6月－1963年5月）17按照例1给出的计算步骤，计算参数数ai、bi，进而计算频率强度（结果将图7）。然后绘制时间序列的周期图（图8）。注意这里，N=24，我们取k=12。图7参数和频率强度的计算结果从图8中可以看出，频率强度的最大值（极值点）对应于频率f1=1/12=0.0833，故时间序列的

8、周期判断为T=1/f1=12。这与用12月的数据进行估计的结果是一致的，但由于例2的时间序列比例1的时间序列长1倍，故判断