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1、利用Excel进行时间序列的谱分析(I)在频域分析中,功率谱是揭示时间序列周期特性的最为有力的工具之一。下面列举几个例子,分别从不同的角度识别时间序列的周期。1时间序列的周期图【例1】某水文观测站测得一条河流从1979年6月到1980年5月共计12月份的断面平均流量。试判断该河流的径流量变化是否具有周期性,周期长度大约为多少?分析:假定将时间序列xt展开为Fourier级数,则可表示为kxt=∑(aicos2πfit+bisin2πfit)+εt(1)i=1式中fi为频率,t为时间序号,k为周期分量的个数即主周期(基波)及其谐波的个数,εt
2、为标准误差(白噪声序列)。当频率fi给定时,式(1)可以视为多元线性回归模型,可以证明,待定系数ai、bi的最小二乘估计为N2aˆi=∑xtcos2πfitNt=1(2)Nˆ2bi=∑xtsin2πfitNt=1这里N为观测值的个数。定义时间序列的周期图为N22I(f)=(a+b),i=1,2,Λ,k(3)iii2式中I(fi)为频率fi处的强度。以fi为横轴,以I(fi)为纵轴,绘制时间序列的周期图,可以在最大值处找到时间序列的周期。对于本例,N=12,t=1,2,…,N,fi=i/N,下面借助Excel,利用上述公式,计算有关参数并分析
3、时间序列的周期特性。第一步,录入数据,并将数据标准化或中心化(图1)。图1录入的数据及其中心化结果1中心化与标准化的区别在于,只需将原始数据减去均值,而不必再除以标准差。不难想到,中心化的数据均值为0,但方差与原始数据相同(未必为1)。第二步,计算三角函数值为了借助式(1)计算参数ai、bi,首先需要计算正弦值和余弦值。取i=1,2,Λ,6,则频率为f=i/N=1/12,2/12,Λ,6/12(图1)。i将频率写在单元格C3-C14中(根据对称性,我们只用前6个),将中心化的数据转置粘贴于第一行的单元格D1-O1中,月份的序号写在单元格D2
4、-O2中(与中心化数据对齐)。图2计算余弦值的表格在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C3)”,回车得到0.866;按住单元格的右下角右拉至O3单元格,得到f=1/12=0.083,t=1,2,…,12时的全部余弦值。在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C4)”,回车得到0.5;按住单元格的右下角右拉至O4单元格,得到f=2/12=0.167,t=1,2,…,12时的全部余弦值。依次类推,可以算出全部所要的余弦值(在D3-O8区域中)。根据对称性,我们的计算到k=6为止(图2)。注意,这里B1单元格是2π
5、=6.28319(图中未能显示)。在上面的计算中,只要将公式中的“COS”换成“SIN”,即可得到正弦值,不过为了计算过程清楚明白,最好在另外一个区域给出结算结果(在D17-O22区域中,参见图3)。图3计算正弦值的表格第三步,计算参数ai、bi利用中心化的数据(仍然表作xt)计算参数ai、bi。首先算出xtcos2πfit和xtsins2πfit。在D9单元格中输入公式“=D1*D3”,回车得到18.309;按住单元格的右下角右拉至O9单元格,得到f=1/12=0.083,t=1,2,…,12时的全部xtcos2πfit值;加和得39.5
6、84,再除以6,即得a1=6.597。在D10单元格中输入公式“=D1*D4”,回车得到10.571;按住单元格的右下角右拉至O10单元格,得到f=2/12=0.083,t=1,2,…,12时的全部xtcos2πfit值;加和得-365.25,再除以6,得到a2=-60.875。其余依此类推。将上面公式中的余弦值换成正弦值,即可得到bi值(见下表)。上面的计算过程相当于2采用式(2)进行逐步计算。第四步,计算频率强度利用式(3),非常容易算出I(fi)值。例如N2222I(f)=(a+b)=6*(6.597+170.213)=174096.
7、9141112其余依此类推(见图4)。图4计算频率强度第五步,绘制时间序列周期图利用图4中的数据,不难画出周期图(图5)。200000180000160000140000120000100000频率强度80000600004000020000000.10.20.30.40.50.6频率图5某河流径流量的周期图(1979年6月-1980年5月)第六步,周期识别关键是寻找频率的极值点或突变点。在本例中,没有极值点,但在f1=1/12=0.0833处,频率强度突然增加(陡增),而此时T=1/f1=12,故可判断时间序列可能存在一个12月的周期,即
8、1年周期。3【例2】为了映证上述判断,我们借助同一条河流的连续两年的平均月径流量(1961年6月-1963年5月)。原始数据见下图(图6)。图6原始数据及部分处理结果将原始数据回