资源描述：
《2002年全国高中数学联合竞赛试卷及参考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2002年全国高中数学联赛试题参考答案一、选择题 1、由x2-2x-3＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x＜-1或x＞3。二次函数u=x2-2x-3在（-∞，-1）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增，故选A。 2、(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(-5,12)为圆心，半径为14的圆。设P为圆上任一点，则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1 当点C、O、P共线时，等号成立，所以P到点O的最小值为1，故选B。
2、 3、函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+(x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。 4、设P1(4cosα,3sinα)(0＜α＜(π/2))，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB面积S， S=SΔOAP1+SΔOBP1=(1/2)×4(3sinα)+(1/2)×3(4cosα)=
3、6(sinα+cosα)=6√2sin(α=(π/4)), ∴Smax=6√2(此时α+(π/4)). ∵SΔOAB=(1/2)×4×3=6为定值， ∴SΔP1AB的最大值为6√2－6. ∵6√2－6＜3, ∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B。5 5、不妨设b1＜b2＜…＜b50，将A中元素a1,a2,…,a100按顺序分为非空的50组。 定义映射f:A→B，使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1,2,…,50). 易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足
4、码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为C4999，则这样的映射共有C4999，故选D。 6、如题图，两图形绕y轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为∣y∣，则所得截面面积S1=π(42-4∣y∣)，S2=π(42-y2)-π[4-(2-∣y∣2)]=π(42-4∣y∣)∴S1=S2由祖暅原理知，两几何体体积相等，∴Ｖ1=Ｖ2，故选Ｃ.二、填空题 ７、如图，由余弦定理可得：∣Z1+Z2∣=√19,∣Z1-Z2∣=√7，所以∣(Z1+Z2)／(Z1－Z2)∣=(√19)/(√7)=(√133)/
5、7. 8、不难求出前三项系数分别是１，(1/2)n，(1/8)n(n-1)，由于这三个数成等差数列，有2·1/2n=1+1/8n(n-1).解得：n=8和n=1（舍去）. 当n=8时，Tr+1=Cr8(1/2)rx(16-3r)/4，这里r=0,1,…,8.r应满足４∣(16-3r)，所以r只能是0,4,8. 9、首先，在每个侧面上除P1点外尚有五个点，其中任意三点组添加点P1后组成的四点组都在同一个平面，这样的三点组有C35个，三个侧面共有3C35个. 其次，含P1的每条棱上的三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这样的四点组有３
6、个。 综上，共有C35+3=33个. 10、由g(x)=f(x)+1-x得：f(x)=g(x)+x-1，所以 g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,5g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1. 即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x).∴g(x+1)=g(x). 即g(x)是周期为１的周期函数，又g(1)=1，故g(2002)=1. 11、 由对称性只考虑y≥0，因为x＞0，所以只须求x-y的最小值. 令x-y=u代
7、入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u2)=0.这个关于y的二次方程显然有实根，故Δ=16(u2-3)≥0,∴u≥√3.当x=(4/3)√3,y=(√3)/3时,u=√3.故∣x∣-∣y∣的最小值为√3. 12、原不等式可化为：（cosx-((a-1)/2)）2≤a2+(a-1)2/4.∵-1≤cosx≤1,a<0,a-1/2<0,∴当cosx=1时，函数y=(cosx-(a-1)/2)2有最大值(1-(a-1)/2)2，从而有(1-(a-1)/2)2≤a2+(a-1)2/4，整理得a2+a-2≥0,∴a≥1或a≤-2.又a＜0,∴a≤-2
