利用导数解决三次函数的性质单调性和极值

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1、利用导数解决三次函数的性质：单调性和极值漳浦二中杨建平摘要：以三次函数为背景的题型，解题的关键是要深刻地领会三次函数的性质，只有这样才能找出解三次函数的切入点，使这类问题最终得到完美的解答；同时对这些性质的研究有助于提高探究能力．巧妙地利用三次函数的性质，可以使我们的解题方法更简洁、思维更优化，学习效果更高．导数为研究函数的性质提供了新的工具，通过求导可以研究函数的单调性和极值。特别地，三次函数已经成为高中阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现与它有关的相关命题。近几年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中等都出现了这个函数的

2、单独命题，而且有的以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。当函数为三次函数时，通过求导得到的函数为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点。根据这些特点，对于三次函数问题，一般可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。三次函数，导数，令，1．三次函数的单调性性质1：当且，则在上单调递增；当且，则在上单调递减.推论：函数，当时，不存在极大值和极小值；当时，有极大值、极小值。且。根据a和的不同情况，其图象特征分别为：性质2：若，则有两个解：,当且时，在和上单调递增，在7上单调递减；当且时，在和上单调递

3、减，在上单调递增.2．三次函数的极值性质3：当时，无极值；当时，（1）若，在处有极大值；在处有极小值；（2）若，在处有极小值；在处有极大值.一、含参三次函数单调区间的求解三次函数单调区间由或的解集来决定，因此可以从根的大小、判别式和二次项系数等方面来入手讨论.求三次函数的单调区间，就是确定二次不等式或的解集，其解法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了.例1．设函数，求函数的单调区间与极值.[分析]方程的两个根是或，这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是与的大小关系.解：，令，解得或（1）当，即时，当变化时，、的变化情况如下表：极小值极大值函数

4、在和是减函数，在是增函数.函数在处取得极小值函数在处取得极大值7（2）当即时，此时，恒成立，故函数的单调减区间为R，无极值.（3）当即时，当变化时，、的变化情况如下表：极小值极大值函数在和是减函数，在是增函数.函数在处取得极大值函数在处取得极小值二、已知三次函数单调性求参数范围问题已知三次函数单调性求参数范围转化为恒成立或恒成立问题来处理，注意等号不能遗漏，否则造成参数范围的漏解.已知三次函数单调性求参数范围可有两种方法解决，一是分参，二是二次函数思想。做题目时，随机应变.例2．，（1）在上单调递增，求的取值范围；（2）在上单调递减，求的取值范围；

5、（3）在上不单调，求的取值范围。[分析]已知函数单调性转化为恒成立或恒成立来处理。解：（1）在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立考虑函数在上的最大值，当时，，在上单调递减，7（2）在上单调递减，在上恒成立，即在上的最大值考虑函数在上的最大值，最大值为或，，即，无解，则不存在.（3），在上不单调在上有正有负①在上只有一个极值点，第一种情形：，即，即第二种情形：，此时，舍去第三种情形：，此时，的两个根为1和，满足题意.综上：②在上有两个极值点，，则综合①②得.例3．已知，，其中.设函数.若在区间上不单调，求的取值范围.解：由已知可得，7令解得.令，则

6、，由，得，即（当且仅当即时取等号）如图所示，当时；当时.所以，，即而当时，恒为增函数，不合题意，故舍去。所以.说明：本例巧妙地转化为“对勾函数”知识求解。三、三次函数单调性与极值综合应用例4．设函数，，且，若是函数的一个极值点，试比较与的大小.解：，由得，又，则当时，，即是增函数；当时，，即是减函数；由是的一个极值点，得，即，则故，从而.例5、设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（1）用表示a，b，c；（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围．解：（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以，7即.因

7、为所以.∴又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得因此故，，（2）∵∴因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以即解得所以的取值范围为小结：本题以三次函数为背景，主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用，意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力．　第一步：审条件．已知函数f(x)的解析式．第二步：审结论．在已知f(x)的单调区间及最值的前提下，求t的值或取值范围．第三步：建联系．(1)求导后，根据f(x)的单调区间即可确定不等式的解；(2)求出t的值或取值范围．7因此，学会用导数方法解

8、决三次函数单调性与极值问题中四类题型：1.已知函数解析式求单调性问题；2.已知函数解析式求极值问题；3.已知含参数的函数解