从非标准分析观点看标准实数集的可测性

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1、从非标准分析观点看标准实数集的可测性文章编号：1000-从非标准分析观点看标准实数集的可测性陈必红*收稿日期：2001-1-10作者简介：陈必红(1955~),男(汉族),江苏如皋市人,深圳大学讲师、博士.E-mail:cbhong@public.szptt.net.cn（深圳大学理学院数学系，深圳518060）摘要：传统实数理论不承认无穷大和无穷小这样的非标准实数的存在，因而在可测集理论上产生结论，认为存在着不可测实数集.其证明方法是通过构造无穷个如测度存在必相同的集合，它们的并集为有界且覆盖另一可测区间，因而如测度存在必大于0且有限，但由无

2、穷个大于0的相同的数相加必为无穷大的结论来导出矛盾.但从非标准分析的观点看，如果引进非标准数，则可以做出标准实数集全部可测的假设.这样将使与测度论有关的结论更加合理.这样在概率论中，不存在没有概率的事件集.概率不仅对所有实数集有可列可加性，更有不可列可加性.这只要定义一些无穷小数即可做到.而且概率为0的事件就是不可能事件，可能事件的概率可以是无穷小，但并不会是0.本文只是提出观点和建议，并没有进行具体的公理化结构的重塑工作.关键词：非标准分析；测度论；概率论中图分类号：O141.41文献标识码：A引言文献[1]给出了一元静态观测过程的结构模型，

3、在文中为了描写在整个实数轴上均匀分布的随机变量，定义了一个非标准无穷大数δ为整个实数轴的长度，用学究一些的话说就是整个实数轴的测度，定义其倒数为ε，为一个无穷小数.在文献[2]研究了观测主体中熵的变化问题，并统一了离散和连续两种随机变量的熵的定义，这新的定义可以描写任意类型的随机变量的熵，并指出离散的和连续的两种随机变量的熵差一个无穷大数.文献[3]则利用C++语言实现超实数类的一阶模型，可以精确算出一个函数的导数值.本文将建议采用非标准分析的办法来重新研究测度论，在引入非标准的无穷大数和无穷小数的情况下，可以得出比较简单的结论.当然，这种做法

4、势必招致各数学工作者的批评，希望能够通过学术争论来得出更合理的结论.本文沿用文献[1]到[3]的所有记号和定义.1传统测度论中的不可测集用一个通俗的比喻来说明传统的测度论.假设将整个标准实数轴看作是一维的地皮，向许多房地产商出售，当然，由于位置不同有可能地价不同.房地产商购买一些地皮也就是购买一些实数集合.对于有一些实数集合，如开区间或者闭区间，或者半开半闭区间，只要能够计算区间的长度，也就能够给出价格.而一些复杂的集合，也可以存在着测度或者说长度，当然也可以开出价格.但传统实数理论的麻烦在于，存在着不可测集.也就是说，如果购买者专门要某一些集

5、合，则出售者无法计算出此集合对应的长度，当然也就无法给出价格.5从非标准分析观点看标准实数集的可测性不可测集给标准实数理论带来的麻烦相当大，因为它的存在，以至于数学家要给出一系列相当深奥的定理.而现代的积分理论要求被积函数最起码是可测函数，如果函数不可测，当然也就不可积.这么一来为证明哪些函数可积，哪些函数不可积又投入了大量的人力来证明各种定理.概率论也是建立在测度论的基础上.因此不可测集给概率论带来的麻烦也是相当大的.本来概率论的公理化描述者希望能够这么描述概率测度：“首先有一个集合叫做样本空间Ω，其所有子集构成事件集F=2Ω，在此事件集上定

6、义映射或者集函数P(A):F→R，使得每给一个集合A∈F，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质.”这对于其它学科的要应用概率论的研究者使用起来是方便的.如果样本空间就是整个实数轴，那也就是说，从观念上讲，非数学专业的人希望或者认为对于实数轴上的任何集合A，都能够有一个确定的概率与之对应，通过反复试验，按大数定律的原则，可以统计实验结果落在A上的概率.但令工科学者们吃惊的是，数学家宣布不是所有的集合都可测，也就是说，存在着这样的集合，即使反复试验，也无法统计出落在这样的集合上的概率.这就逼得概率论的公理化体系描

7、写成这样：“对于样本空间，有一个事件集F=P(Ω)，满足在其上的对可数个并交补运算封闭，在此事件集上定义映射或者集函数P(A):F→R，使得每给一个集合A∈F，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质.”这在概率论的教学中是最经常令学生们困惑的了.没有学过实变函数理论的学生搞不懂为什么不能够对所有的子集定义概率.在各个实变函数教材中这不可测集是这样定义的，首先将[0,1]区间中的所有实数进行分类，凡是两个实数相差一个有理数，就是一类，这样的类集有无限多个，而且相互之间并不重合，且覆盖了[0,1]区间所有的数.根据

8、选择公理，每一个这样的非空集必然可以取出一个元素作为这个集合的代表，所有的代表都来参加一个代表大会，这个代表大会组成的集合，就是我们将要证明其为不可测