不等式证明方法的探毕业论文究.doc

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1、天水师范学院本科毕业论文不等式证明方法的探毕业论文究目录一．不等式的概念：-1-二．不等式的证明方法-1-1.比较法：-1-2.综合法：-2-3.分析法:-3-4.数学归纳法:-4-5.反证法:-5-6.换元法:-6-7.放缩法:-7-8.利用单调函数法：-9-9.利用微分中值定理：-9-10、利用不等式定理：-10-11、利用泰勒公式：-10-12、利用函数的极值法：-11-13、中值定理法：-12-14.利用函数的凹凸性：-12-15.利用定积分理论：-13-小结:-14-参考文献：-15-天水师范学院本科毕业论文一．不等式的概念：用不等号把两个数学式子连结起来而得到的式

2、子叫做不等式。不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数。（1）用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．（2）不等号＞或＜叫做严格不等号，≥或≤叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）．例如表示“或有一个成立，”因此１≥０或１≤１都是真的．另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“≠”．二．不等式的证明方法1.比较法：比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方法．欲证(或)，可以直接将差式与０比较大小；或者时，直接将商式与1比较大小．-14-天

3、水师范学院本科毕业论文在什么情况下用比较法较好呢？一般地，当移项后容易分解成因式或配成完全平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积结构（或可化成乘积结构，虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积结构）时，可考虑比较法；另外，能化成便于放大或缩小的商式，也可考虑用比较法．例１设为不等的实数，求证证明因为所以2.综合法：综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式的性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．常利用不等式的性质或借助于现成的不等式．因此，掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便．例2试证：若，则有证明：方法１因为，所以．又，所以同理有由相同

4、加法则，三式相加即得结论．方法２欲证不等式等价于-14-天水师范学院本科毕业论文因为，三式相加，即得结论．说明：将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法．3.分析法:分析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件（或充分必要条件），直至归结到已知条件或已知成立的结论为止．例3已知，求证(1)证明欲证不等式(1)，只需证(2)(2)式左边即(3)(2)式右边即(4)比较(3)与(4)式，显然-14-天水师范学院本科毕业论文．可知要证(2)式成立，只需证(5)当时，(5)式成立；若时，(5)式成立．则时即(5

5、)式成立，结论得证．应用分析法的基本思路是“要Ｃ成立，只要Ｂ成立即可；要Ｂ成立，只要Ａ成立…”，一直追溯到已知条件或已知的不等式为止．用形式符号表示出来，就是“”．如果分析的每一步都是充分必要的，即“”则更好．应该强调的是，分析的思想和分析的方法是研究一切问题的一个基本方法．无论是数学，自然科学，还是经济学或社会科学，多半是以分析为先导．没有正确的分析，就不会有正确的综合．所以在数学教育中培养学生分析问题的能力是有意义的．4.数学归纳法:数学归纳法是由皮亚诺公理派生出来的一个重要数学方法．它对于等式或不等式的证明同样是有效的．主要用于与自然数n有关的不等式命题．例4求证对于任

6、意的自然数n，有-14-天水师范学院本科毕业论文证明方法１当n=1时，有，不等式成立．假设n=k时，不等式为真，那么当n=k+1时，有又末式成立，故原不等式对成立．结论得证．方法２构造数列记显然所以即得结论说明这个不等式的左边有明显的特点，不等式右式成平方根的形式．-14-天水师范学院本科毕业论文5.反证法:前面几种方法都是直接证法，而反证法是一种间接证法，其中包括归谬法和穷举法．反证法从否定所要证的结论入手，假设结论的否定为真，那么由此所引出的结论与已知条件或已知公理、定理、定义域性质之一相矛盾，或自相矛盾，因而结论的否定不成立，故原结论是真实的．当给定不等式不便于用直接法

7、证明时，或其自身是一种否定式命题时，可考虑用反证法．例5设，且，求证证明假如(1)则有因为正弦函数在区间上是增函数，所以(2)(2)式两边均为正数，两边平方，有整理得(3)但是，由(1)式可知，表明(3)式不可能成立．因此-14-天水师范学院本科毕业论文6.换元法:换元法是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，化难为易，化未知为已知，或实现某种转化，达到证明的目的．（换元法有时称为变换法）例6设，试证证明当时，不等式中的等号成立．于是引进参数，作变换：实际上这是平面的一个参数表示形式．