不等式的证明方法毕业论文

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1、不等式的证明方法毕业论文目录1引言32不等式证明的基本方法42.1比较法42.1.1作差比较法42.1.2作商比较法52.2分析法52.3综合法[2]62.4反证法62.5换元法82.5.1三角代换法82.5.2增量换元法92.6放缩法102.6.1“添舍”放缩102.6.2利用基本不等式102.6.3分式放缩122.7迭合法132.8数学归纳法[8]142.9构造解析几何模型证明不等式142.10判别式法[9]152.11标准化法[10]152.12分解法163利用函数证明不等式163.1利用函数单调性173.2利用函数的极值173.

2、3利用函数的凹凸性173.4利用中值定理183.4.1利用拉格朗日中值定理183.4.2利用柯西中值定理203．5利用泰勒公式214小结2221参考文献：23致谢…………………………………………………………………………………241引言在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.在研究数学的不等式

3、过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法.在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式.2不等式证明的基本方法2.1比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小比较的最直接的方法，比较法可分为作差比较法和作商比较法。2.1.1作

4、差比较法在比较两个实数和的大小时，可借助的符号来判断，若，则；若，则。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、应用已知定理、公式等。例2.3已知求证：。证明作差3　＝3＝由知，0又因为二次三项式的首项系数判别式21恒成立，用作差比较法能够较直接的比较两个数的大小。2.1.2作商比较法作商比较法依据不等式的运算性质：一般在均为正数时，若,则；若，则，来判断其大小。其步骤为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。例2.4设，求证：。分析对于含幂指数类的不等式用作商比较法。证明因为所以,

5、故有两式均为单项式且均为正式时，用作商比较法。例2.5设，，求证：。分析由于，，所以求证的不等式两边的值都大于零，可采用作差比较法或作商比较法。本题只给出作商法的证明过程，作商法有。证明作商有由知，所以成立。2.2分析法21从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。例3：求证证明：为了证明原不等式成立，只需证明即，只需证明成立原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样

6、可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。2.3综合法[2]证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.例4已知：，同号，求证：.证明因为，同号，所以，，则即.2.4反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反证法。反证法证明一个命题的思路及步骤：（1）假定命题的结论不成立；21（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;（3）由于上述矛盾的出现，可以断言，

7、原来的假定“结论不成立”是错误的;（4）肯定原来命题的结论是正确的。例：实数满足求证：中至少有一个负数。证明：假设都为非负数，由从而所以这与已知矛盾，所以至少一个为负数。例2.12设，则有。分析命题知，已知，证明成立，采用反证法。证明假设成立，则有即有因此与题设命题矛盾，所以，假设不成立，故原不等式成立。例2.13已知，，，求证：，，至少有一个不大于。分析本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一个”的反面是“一个也没有”。证明假设，，都大于,因为都是小于１的正数，从而，，21所以　同理　　　　　　

8、　由上式相加得，显然矛盾故，，至少有一个不大于。由例不难看出用反证法证明不等式的一般步骤是：（1）否定结论；（2）推理论证；（3）导出矛盾；（4）肯定结论。2.5换元法换元法在不等式的证明中很常见的方，通过