易拉罐设计数学模型

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1、2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校第五队参赛队员：1.张晶晶2.刘美琴3.王超鹏指导教师：王亮亮2006年9月18日122006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承

2、诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：吕梁高等专科学校参赛队员(打印并签名)：1.张晶晶2.刘美琴3.王超鹏指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王亮亮日期：2006年9月18日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：122006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分

3、备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的设计12摘要本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的2倍时，其表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形

4、状和尺寸几乎是一样的。经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比0.618。这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服，最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关，而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短有关。此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。在本文讨论中，我们假设1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑

5、易拉罐底部上拱问题，模型中模型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。在以上假设的基础之上我们以355ml的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论计算结果认为当高与半径之比4.68827时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相同。然后我们对生活中355ml的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状和尺寸的设计。关键词：等边圆柱易拉罐注：本文中提到的等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为1：1的圆柱体。一、问题的提出12体积给定

6、的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，高是半径的2倍时，表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱形时，消耗的材料最少，生产成本最低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱形的，有的长些，有的短些，这是为什么呢？由于在现实生活中，销量广的饮料的饮料罐在形状与尺寸上存在着惊人的相似（如表1），这就不能不引起人们的关注。既然它能如此大面积、大范围的应用，其内部必定存在着一定的合理性及科学性，能给商家以无尽的利润。表1参数产品圆柱体直径圆台上直径圆柱体材料的厚度圆台盖材料

7、的厚度圆柱体高圆台高百事可乐65.5658.680.140.49109.8613.25可口可乐66.4059.060.140.47110.4812.96醒目65.8258.650.150.48110.4012.52雪碧64.6058.840.140.49110.1212.64现要我们在体积一定的情况下（355ml），根据一定的理论，建立起数学模型，使其用料最少，赢利最大。达到一种最优化的效果。下面是关于355ml可口可乐饮料罐的有关数据（如表2）：（单位：mm）表2参数次数圆柱体的直径圆台上盖直径圆柱体材料的厚度圆台盖材料的厚度圆柱体高圆台高饮料罐总

8、高第一次66.0059.120.140.48110.0012.30122.40第二次65.9059.340.