义务教育2007年全国各地中考数学压轴题赏析

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1、2007年全国各地中考数学压轴题赏析浦东教育发展研究院杨正家2007年全国各地中考数学试题压轴题多姿多彩，经学习、研究后有不少体会。这些成功试题值得大家进行深入分析，细细品味。本人从中选取一部分加以分析，供教学、命题和研究参考。希望从考试试题的研究出发，在研究、讨论中我们共同获得对数学和数学教学的启发，进而提高对数学和数学教学的认识。ABCDOExy试题1（湖北省十堰市）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。(1)写出A、B、C、D

2、及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。略解：（1）所求各点坐标为A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）。（2）设抛物线的解析式为，由于抛物线经过点B(0,-1)，可求得，所以抛物线的解析式为，经验证，该抛物线过C。（3）直线BD的解析式为，与抛物线解析式联列，解得点P坐标为。（

3、4）。赏与析：第（2）小题看起来有多余条件，但实际上正好考查学生解题中的自检能力，如果学生用顶点式求抛物线解析式，根据点B坐标求出解析式后须检查C在抛物线上。如果学生运用一般式求解，根据E、B、C的坐标求出解析式后，须检验E是顶点。这一自检步骤不可忽略，也不可默认。试题2（泰安市，非课改）如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为。（1）求证：；（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由。略解：（1）可证，。（2）与垂直。

4、先证四边形为矩形，，由（1）知，。为直角三角形，，，，。又，，。（3）当时，为等腰直角三角形。，，，由（2）知：，，。又，为等腰直角三角形。赏与析：（1）本题对几何图形的性质作了比较有趣的研究，探究其中比较有意义的数量关系、位置关系、形状关系等，形成一类探索性试题的特点。（2）试题较有整体感，小题设计之间、小题解法之间联系均较_结束_输出y_y与x的关系式_输入x_开始紧密，对于探究性问题中研究主题不断生成，环环相扣，又不断解决有一种流畅感。试题3（安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式

5、就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说

6、明，但要写出关系式得出的主要过程）略解：（1）当P=时，y=x＋,即y=。∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）。又当x=20时，y==60，当x=100时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。如：。赏与析：（1）用流程图的方法叙述函数关系

7、，比较生动。同时这也是对函数的意义作了一个形象化的解释。其实函数的表达有多种方法，用解析式表示只是其中一种，而且不是所有函数都可以用解析式表示的。（2）通过隐含的方法对函数的几个有意思的性质，比如值域、单调性等进行描述、探究，引导学生学习数学研究的方法。（3）问题设计考虑到验证性证明和构造性证明等，试题比较注重数学思想方法的考查。试题4(淮安市)在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2，∠AOB=30°,D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，

8、E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，设D、E两点运动的时间为t秒。（1）点A的坐标为，点B的坐标为。（2）在点D、E运动的过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理由(3)当t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿直线DE向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s，请写出s与t的函数关系式，并求出s的最大值。略解：（1）。（2）可求得，这时