2018版高考数学专题1集合与函数1.2.1对应映射和函数学案湘教版必修1

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1、1.2.1 对应、映射和函数[学习目标] 1.能记住映射的定义,知道什么是象,什么是原象,会根据对应法则说出象和原象.2.会判断给出的对应是否是映射.3.能记住函数的定义,知道什么是函数的定义域、值域.4.能说出函数的三要素.[预习导引]1.映射(1)在数学里,把集合到集合的确定性的对应说成是映射.(2)映射的定义:设A,B是两个非空的集合.如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一元素和它对应,这样的对应叫作从集合A到集合B的映射,记作f:A→B.(3)在映射f:A→B中,集合A叫作映射的定义域,与A中元素x对应的B中的元素y

2、叫x的象,记作y=f(x),x叫作y的原象.2.函数(1)函数就是数集到数集的映射.(2)函数的定义:设A,B是两个非空的数集.如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应,这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数,记作f:A→B,或者y=f(x)(x∈A,y∈B).(3)在函数y=f(x)(x∈A,y∈B)中,A叫作函数的定义域,与x∈A对应的数y叫x的象,记作y=f(x),由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的值域.(4)函数的三要素:①对应法则;②定义域;③值域.要点一 映射定义的理解例1 判断下列对应哪些是从集合

3、A到集合B的映射.哪些不是,为什么?(1)A={x

4、x∈R+},B={y

5、y∈R},f:x→y=±;(2)A=R,B={0,1},f:x→y=(3)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64},f:a→b=(a-1)2.解 (1)任一个x都有两个y与之对应,∴不是映射.10(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应,对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应,∴是映射.(3)在f的作用下,A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64,∴是映射.规律方法 判断一个对应是不是映射,应该从两个角度去分析:(1)是不是“对于A中的每一

6、个元素”;(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”.一个对应是映射必须是这两个方面都具备;一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射.说明一个对应不是映射,只需举一个反例即可.跟踪演练1 下列对应是不是从A到B的映射,能否构成函数?(1)A=R,B=R,f:x→y=;(2)A={a

7、a=n,n∈N+},B=,f:a→b=;(3)A=[0,+∞),B=R,f:x→y2=x;(4)A={x

8、x是平面M内的矩形},B={x

9、x是平面M内的圆},f:作矩形的外接圆.解 (1)当x=-1时,y的值不存在,∴不是映射,更不是函数.(2)是映射,也是函数,因A中所有的元

10、素的倒数都是B中的元素.(3)∵当A中的元素不为零时,B中有两个元素与之对应,∴不是映射,更不是函数.(4)是映射,但不是函数,∵A,B不是非空的数集.要点二 映射的象与原象例2 已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应法则f:x→y=x2+2x.(1)求A中元素-1和3的象;(2)求B中元素0和3的原象;(3)B中的哪一些元素没有原象?解 (1)令x=-1得y=(-1)2+2×(-1)=-1,令x=3得y=32+2×3=15,所以-1的象是-1,3的象是15.(2)令x2+2x=0,解得x=0或-2,所以0的原象是0或-2.令x2+2x=3.解得x=1或

11、-3,所以3的原象是1或-3.(3)由于y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,所以只有当y≥-1时,它在A中才有原象,而当y10<-1时,它在A中就没有原象,即集合B中小于-1的元素没有原象.规律方法 1.解答此类问题的关键:(1)分清原象和象;(2)搞清楚由原象到象的对应法则.2.对A中元素,求象只需将原象代入对应法则即可,对于B中元素求原象,可先设出它的原象,然后利用对应法则列出方程(组)求解.跟踪演练2 (1)映射f:A→B,A={-3,-2,-1,1,2,3,4},对于任意a∈A,在集合B中和它对应的元素是

12、a

13、,则集合B中元素的最少个数是(  

14、)A.7    B.6    C.5    D.4(2)设A={x

15、x是锐角},B=(0,1),从A到B的映射是“求正弦”,与A中元素60°相对应的B中的元素是________,与B中元素相对应的A中的元素是________.答案 (1)D (2) 45°解析 (1)由映射定义知,B中至少有元素1,2,3,4,即B中至少有4个元素,选D.(2)60°角的正弦等于,45°角的正弦等于,所以60°的象是,的原象是45°.要点三 映射的个数问题例3 已知A={x,y},B={a,b,c},集合A到集合B的所有不同的映射有多少个?解 分两类考虑:(1)集合A中的两

16、个元素都对应B中相同元素的映射有3个.(2)集合A中的两个元素对应

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