2018版高中数学人教b版选修2-1学案：2.3.1 双曲线的标准方程

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案2.3.1　双曲线的标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一　双曲线的定义思考　如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？梳理　(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__________等于

2、常数(小于

3、F1F2

4、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点的距离叫做双曲线的________；(2)关于“小于

5、F1F2

6、”：①若将“小于

7、F1F2

8、”改为“等于

9、F1F2

10、”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______________(包括端点)；②若将“小于

11、F1F2

12、”改为“大于

13、F1F2

14、”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的________．(4)若常数为零，其余条

15、件不变，则点的轨迹是________________________．知识点二　双曲线的标准方程思考1　双曲线的标准方程的推导过程是什么？112018年人教B版高中数学选修2-1学案思考2　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？梳理　(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程图形焦点坐标a，b，c的关系式(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在________上；若y2项的

16、系数为正，那么焦点在________上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝________与椭圆中的b2＝________相区别．类型一　双曲线的定义及应用命题角度1　双曲线中焦点三角形面积问题例1　已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．引申探究本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变

17、，求△F1PF2的面积．　反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：112018年人教B版高中数学选修2-1学案①根据双曲线的定义求出

18、

19、PF1

20、－

21、PF2

22、

23、＝2a；②利用余弦定理表示出

24、PF1

25、，

26、PF2

27、，

28、F1F2

29、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体思想求出

30、PF1

31、·

32、PF2

33、的值；④利用公式求得面积．(2)方法二：利用公式(yP为P点的纵坐标)求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件

34、

35、PF1

36、－

37、PF2

38、

39、＝2a的变形使用，特别

40、是与

41、PF1

42、2＋

43、PF2

44、2，

45、PF1

46、·

47、PF2

48、间的关系．跟踪训练1　如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积．命题角度2　利用双曲线定义求其标准方程例2　(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)A．

49、PF1

50、－

51、PF2

52、＝±3B．

53、PF1

54、－

55、PF2

56、＝±4C．

57、PF1

58、－

59、PF2

60、＝±5D．

61、PF1

62、2－

63、PF2

64、2＝±4(2)在平面直角坐标系中

65、，点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为________________．反思与感悟　双曲线定义的两种应用(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量.其基本步骤为①寻求

66、动点M与定点F1，F2之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足

67、

68、MF1

69、－

70、MF2

71、

72、＝2a(常数，a>0)．③判断：若2a<2c＝

73、F1F2

74、，满足定义，则动点M的轨迹就是双曲线，且2c＝

75、F1F2

76、，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.112018年人教B版高中数学选修2-1学案④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．跟踪训练2　下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足

77、PF1

78、－

79、PF2

80、＝的点P