第二章_第九节_函数与方程[1]

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1、函数与方程题组一函数零点的判定1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值(　　)A．大于0　　　　　　　　B．小于0C．等于0D．不能确定解析：若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(－2)f(2)<0.若不是变号零点，则f(－2)f(2)>0.答案：D2．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)A．[0,1]B．[1,2]C．[－2，－1]D．[－1,0]解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)

2、2＝－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，∴函数f(x)＝3x－x2在区间[－1,0]内存在零点．答案：D3．函数f(x)＝的零点有(　　)A．0个　　　　　　　　　　B．1个C．2个D．3个解析：由f(x)＝＝0得：x＝1，∴f(x)＝只有一个零点．答案：B4．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：∵f(x)在[－1,1]上是增函数且f(－)·f()＜0，∴f(x)在[－，]上

3、有唯一实根，∴f(x)在[－1,1]上有唯一实根．答案：C5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能确定解析：依题意知，f(x)是一连续不断的曲线且f(1.25)·f(1.5)<0，∴根在(1.25,1.5)之内．答案：A题组二函数零点的求法6.(2009·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.2

4、5，则f(x)可以是(　　)A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－)解析：∵4个选项中的零点是确定的．A：x＝；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝.又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，g()＝＋2×－2＝1＞0，∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于(0，)之间．答案：A7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.02

5、9f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．解析：由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029，可知零点近似值为1.56.答案：1.568．设函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－的零点是________．解析：当x≥1时，f(x)－＝2x－2－＝2x－＝0，∴x＝.当x＜1时，x2－2x－＝0，∵Δ＝4＋1＞0，∴x＝＝，又∵x＜1，∴x＝.∴函数F(x)＝f(x)－有两个零点和.答案：，题组三函数零点的应用9.若二次函数y

6、＝ax2＋bx＋c中a·c<0，则函数的零点个数是(　　)A．1个B．2个C．0个D．不确定解析：∵c＝f(0)，∴ac＝a·f(0)<0.∴a与f(0)异号，即或∴函数必有两个零点．答案：B10．(2009·天津高考)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：f()＝＋1>0，f(1)＝－0>0，f(e)＝－1<0，∵f′(x)＝－＝，

7、∴f(x)在(0,3)上是减函数．根据闭区间上根的存在性定理与函数的单调性作出判断．答案：D11．(2009·山东高考)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.答案：(1，+∞)12．已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；(2)若＜t＜，求证：方

8、程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，)内各有一个实数根．解：(1)证明：由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根．(2)当＜t＜时，因为f(－1)＝3－4t＝4(