二次函数变式练习

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1、26．1二次函数题目如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？（人教课本P1810题）分析阅读理解题意，抓住AC与BD的位置关系（AC⊥BD）和数量关系（AC+BD=10）去表达四边形ABCD的面积．解设AC与BD相交于O，AC=x，则BD=10－x（0＜x＜10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积===．因此，当AC=x=5，BD=5时，四边形ABCD的面积最大，为．戊点评由于多边形的面积

2、一般是转化为三角形的面积解决的，所以当题目文字和图形中有了垂直关系时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC=x，则BD=10－x，则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量．演变变式1（图形变式）已知平面上两条线段AC、BD互相垂直，AC+BD=10，问当AC、BD的长是多少时，多边形ABCD的面积最大？并画出此时多边形可能具有的形状．ABC(D)ABCDBACDBACDCABDO分析由于四边形具有对角线垂直且相等的特征，所以作出其图形形状（含特殊情况

3、）如下：DBACO甲乙丙丁解如图甲、乙、丙、丁，问题显然．如上图戊，设AC的延长线与BD相交于O，AC=x，则BD=10－x，（0＜x＜10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积S=S△ABD－S△CBD====．因此，当AC=x=5，BD=5时，四边形ABCD的面积最大，为．CABD说明：如图所示，构成的多边形ABDC，就没有最大值．根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得：变式2（关系变式）9已知x、y都是正数，如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有

4、最大值．这是一个有着十分广泛应用的结论（均值定理）．由x+y=S，得y=S－x，代入xy中有，xy=x（S－x）=－x2+Sx=－，结论正确．变式3（问题推广）如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为a，AC+BD=m，问当AC、BD的长等于多少时，四边形ABCD的面积最大？DBACEFOa解过A、C作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD=BD·AE+BD·CF=BD（AE+CF）=BD（AO·sina+CO·sina）=BD（AO+CO）sina

5、=BD·AC·sina，∴当BD=AC=m时，S最大，为．26.2用函数观点看一元二次方程题目抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），求这条抛物线的对称轴．（人教课本P234题）解∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），∴解得∴抛物线的方程为y=ax2－2ax－3a=a（x2－2x－3）=a（x－1）2－4a（a≠0），因此，所求抛物线的对称轴为x=1．另法∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），∴抛物线

6、的方程可设为y=a（x+1）（x－3），a≠0，即y=－a（x2－2x－3）=a（x－1）2－4a（a≠0），所以，抛物线的对称轴为x=1．法三由于抛物线是关于对称轴对称的，且其对称轴x=h与x轴垂直，∴对称轴必过点A（－1，0）、B（3，0）的中点，为h－（－1）=3－h，得．点评本题已知简洁，结论明了，似乎没有什么可挖掘或拓广的．其实题目乃平中见奇，内涵丰富，不但解法多样，而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中，若要画图，还需分a＞0和a＜0讨论．适当改变条件，可得出许多新颖的题目来（如变式4这种

7、开放题）．演变变式1已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．（1）若△ABC是直角三角形，则a=；（2）若△ABD是直角三角形，则a=．解在草稿纸上画出大致图象，可知（1）若△ABC是直角三角形，则直角顶点只能是C，∴C（0，c），即C（0，－3a9），于是（－3a）2=1×3，解得a=±1．（2）若△ABD是直角三角形，则直角顶点只能是D，∴D（0，－4a），于是由2︱（－4a）︱=4，解得a=±．变式2已知抛物线y=ax2+bx+c与

8、x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．问是否存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上？解假设存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上，则圆心E必在抛物线的对称轴x=1上，于是令E（1，m），则︱DE︱=︱m+4a︱，︱AE︱=︱BE︱=，︱CE︱=．由E到A、B、C、D的距离相等，得︱m+4a︱==，经求解知，不存在非零常数a，使上式成立，因此表明，不存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上．变式3