2019年高考数学(理)一轮复习第8章 平面解析几何 第9节 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第九节　圆锥曲线的综合问题[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．(对应学生用书第148页)[基础知识填充]1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．(2)当a＝0，b≠0时

2、，即得到一个一元一次方程．当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝＝·

5、x1－x2

6、＝·＝·.[知识拓展]　过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有

7、两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)7北师大版2019届高考数学一轮复习学案(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．(　　)

8、[解析]　(1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切．(2)错．当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切．(3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确．(4)错．当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点．[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A．相交　　　　　B．相切C．相离D．不确定A　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　

9、　)A．1条B．2条C．3条D．4条C　[结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：一条过点(0,1)且平行于x轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线．]4．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　)A．1B．2C．1或2D．0A　[因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．]5．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为________．16　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程

10、为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，则

11、AB

12、＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.]第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系(对应学生用书第149页)7北师大版2019届高考数学一轮复习学案直线与圆锥曲线的位置关系　(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1

13、.(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，

14、MN

15、＝

16、m＋1

17、.将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.从而

18、AB

19、＝

20、x1－x2

21、＝4.由题设知

22、AB

23、＝2

24、MN

25、，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.[规律方法]　1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程