义务教育2018中考数学总复习专题提升八以特殊三角形为背景的计算与证明

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1、以特殊三角形为背景的计算与证明一、以等腰三角形为背景的计算与证明1.如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是(B)(第1题图)A.y=x2  B.y=x2C.y=2x2  D.y=3x2解:∵ON是Rt∠AOB的平分线,∴∠DOC=∠EOC=45°.∵DE⊥OC,∴∠ODC=∠OEC=45°,∴CD=CE=OC=x,∴DF=EF,DE=CD+CE=2x.∵∠DFE=∠GF

2、H=120°,∴∠CEF=30°,∴CF=CE·tan30°=x,∴EF=2CF=x,∴S△DEF=DE·CF=x2.∵四边形FGMH是菱形,∴FG=MG=FE=x.∵∠G=180°-∠GFH=60°,∴△FMG是等边三角形,∴S△FGH=x2,∴S菱形FGMH=xx2,∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2.故选B.(第2题图)2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∠CAD=∠BAD,∴∠CBE=∠BA

3、D.(第3题图)3.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:∠C=2∠D.证明:∵AB=AC=AD,∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC,∴∠CBD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D.又∵∠C=∠ABC,∴∠C=2∠D.4.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.(1)若AD=2,求AB.(2)若AB+CD=2+2,求AB.(第4题图)  (第4题图解)解:(1)过点D作DE⊥AB于点E,过点B作BF⊥CD于点F.∵∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,∴∠ADC=36

4、0°-∠A-∠C-∠ABC=360°-45°-45°-105°=165°,∴∠BDF=∠ADC-∠ADB=165°-105°=60°.易证△ADE与△BCF为等腰直角三角形,∵AD=2,∴AE=DE==,∵∠ABC=105°,∴∠ABD=105°-45°-30°=30°,∴BE===,∴AB=AE+BE=+.(2)设DE=x,则AE=x,BE===x,∴BD==2x.∵∠BDF=60°,∴∠DBF=30°,∴DF=BD=x,∴BF===x,∴CF=x,∵AB=AE+BE=x+x,CD=DF+CF=x+x,AB+CD=2+2,∴x=1,∴AB=+1.二、以直角三角形为

5、背景的计算与证明5.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长.(2)在△ABC中,求BC边上高的长.(第5题图)  (第5题图解)解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD==3.(2)延长CB,过点A作AE⊥CB延长线于点E.∵DB⊥BC,AE⊥BC,∴AE∥DB.∵D为AC边的中点,∴BD=AE,∴AE=6,即BC边上高的长为6.(第6题图)6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证:CD⊥AB.解:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B,∴∠A

6、+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴CD⊥AB.(第7题图)7.在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过点D作DE∥AC,交AB于E.若AB=5,求线段DE的长.解:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE,∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE.∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°,∴∠EAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°,∴∠ABD=∠BDE,∴DE=BE.∵AB=5,∴DE=BE=AE=AB=2.5.(第8题图)8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD,CE分别是A

7、B边上的中线和高.(1)求证:AE=ED.(2)若AC=2,求△CDE的周长.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,∴CD=AD=DB.∵∠B=30°,∴∠A=60°.∴△ACD是等边三角形.∵CE是斜边AB上的高,∴AE=ED.(2)由(1),得AC=CD=AD=2ED,又∵AC=2,∴CD=2,ED=1.∴CE==.∴△CDE的周长=CD+ED+CE=2+1+=3+.9.如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等分∠ACB.(1)求∠B的度数.(2)求证:CE是AB边上的中线,且CE=AB.(第9题图)解:(1)

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