2018中考数学复习专题提升八以特殊三角形为背景的计算与证明

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1、以特殊三角形为背景的计算与证明一、以等腰三角形为背景的计算与证明1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是(B)(第1题图)A.y＝x2　　B.y＝x2C.y＝2x2　　D.y＝3x2解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠EOC＝45°.∵DE⊥OC，∴∠ODC＝∠OEC＝45°，∴CD＝CE＝OC＝x，∴DF＝EF，DE＝CD＋CE＝2x.∵∠DFE＝∠GFH＝120°，

2、∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE·tan30°＝x，∴EF＝2CF＝x，∴S△DEF＝DE·CF＝x2.∵四边形FGMH是菱形，∴FG＝MG＝FE＝x.∵∠G＝180°－∠GFH＝60°，∴△FMG是等边三角形，∴S△FGH＝x2，∴S菱形FGMH＝xx2，∴S阴影＝S△DEF＋S菱形FGMH＝x2.故选B.(第2题图)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.(第3题图)3．如图，已

3、知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°.(1)若AD＝2，求AB.(2)若AB＋CD＝2＋2，求AB.(第4题图)　　(第4题图解)解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F.∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45

4、°－45°－105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°.易证△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD＝2，∴AE＝DE＝＝，∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，∴BE＝＝＝，∴AB＝AE＋BE＝＋.(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝＝＝x，∴BD＝＝2x.∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝x，∴BF＝＝＝x，∴CF＝x，∵AB＝AE＋BE＝x＋x，CD＝DF＋CF＝x＋x，AB＋CD＝2＋2，∴x＝1，∴AB＝＋1.二、以直角三角形为背景的计算与证明5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点

5、，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长．(2)在△ABC中，求BC边上高的长．(第5题图)　　(第5题图解)解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝＝3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E.∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB.∵D为AC边的中点，∴BD＝AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.(第6题图)6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.解：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB.(第7题图)7．

6、在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E.若AB＝5，求线段DE的长．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE.∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE.∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5.(第8题图)8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．(1)求证：AE＝ED.(2)若AC＝2，求△CDE的周长．解：(

7、1)证明：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝AD＝DB.∵∠B＝30°，∴∠A＝60°.∴△ACD是等边三角形．∵CE是斜边AB上的高，∴AE＝ED.(2)由(1)，得AC＝CD＝AD＝2ED，又∵AC＝2，∴CD＝2，ED＝1.∴CE＝＝.∴△CDE的周长＝CD＋ED＋CE＝2＋1＋＝3＋.9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.(1)求∠B的度数．(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB.(第9题图)解：(1)