2019届高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式学案

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1、2019版高考数学一轮复习全册学案第4讲　基本不等式板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)．考点2　基本不等式≤1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0；2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；3．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．考点3　利用基本不等式求最大、最小值问题1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)2．如果x，y∈

2、(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)[必会结论]常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a>0，b>0)；(2)ab≤2(a，b∈R)；112019版高考数学一轮复习全册学案(3)2≤(a，b∈R)；(4)＋≥2(a，b同号)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(　　)(3)x>0，y>0

3、是＋≥2的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√2．[课本改编]已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为(　　)A．1B.C.D.答案　B解析　∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．3．[课本改编]已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A.B．4C.D．5答案　C解析　y＝(a＋b)＝≥，故选C

4、.4．[2018·苏州模拟]若0≤x≤6，则f(x)＝的最大值为(　　)A.B．4C.D.答案　B解析　∵0≤x≤6，∴8－x>0，∴f(x)＝≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故f(x)的最大值为4.5．[课本改编]若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝(　　)A.B．3C.D．4112019版高考数学一轮复习全册学案答案　B解析　由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得等号．故选B.6．[2018·上海模拟]若实数x，y满足xy

5、＝1，则x2＋2y2的最小值为________．答案　2解析　∵x2＋2y2≥2＝2，当且仅当x＝y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2.板块二　典例探究·考向突破考向　利用基本不等式求最值例　1　[2017·山东高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．答案　8解析　∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，∴＋＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．故2a＋b的最小值为8.　本例条件不变，求

6、ab的最小值．解　∵1＝＋≥2，当＝，即a＝2，b＝4时，ab≥8，∴ab的最小值为8.　若4a＋2b＝1，求2a＋b的最大值．解　∵4a＋2b≥2＝2，∴2≤1，∴2a＋b≤－2，∴2a＋b的最大值为－2.　若log2a＋log2b＝1，求2a＋b的最小值．解　∵log2ab＝1，∴ab＝2，∴2a＋b≥2＝4，当a＝1，b＝2时，2a＋b的最小值为4.触类旁通112019版高考数学一轮复习全册学案利用基本不等式求最值问题的解题策略(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定

7、”“三相等”．(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．【变式训练1】　(1)已知00，则函数y＝x＋－的最小值为________．答案　0解析　y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成

8、立．所以函数的最小值为0.考向　条件最值问题例　2　[2018·大同检测]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的取值范围；(2)a＋b的取值范围．解　(1)∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，令t＝>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3即≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤2.令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当