题型二实际生活中的函数关系

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1、初二数学暑假专题——函数的应用问题冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：暑假专题——函数的应用问题二、知识要点：1.应用函数知识解应用题的步骤应用所学数学知识解答应用问题的能力是学习的最重要的能力之一.应用函数知识解应用问题的基本步骤是：（1）认真读题：找出关键词、相关关系及有关数量；（2）建立数学模型（一次函数、正比例函数等），模型可以是等式、函数式、不等式；（3）求解模型；（4）检验作答.2.函数在实际生活中的应用函数知识来源于生活实际，所以在我们的生活中存在着广泛的应用，善于观察、分析自己身

2、边的事情，善于把自己学到的知识应用到生活实际中是培养学习兴趣、学好数学的重要途径.发生在我们身边的主要有以下一些应用函数的例子：（1）应用函数知识，解决增长率问题；（2）应用函数知识，解决盈利问题；（3）应用函数知识，解决最大效益问题；（4）应用函数知识，解决物理问题；（5）应用函数知识，解决航海问题.三、考点分析：函数的实际应用问题在近几年的中考中占有很大比重，许多省市的中考题都有这部分内容，尤其是用函数的观点解决生活中常见的温度、浓度、利润、行程等问题，题型多样化、填空题、选择题、解答题、综

3、合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力.【典型例题】题型一在具体情境中发现问题，并将其转化为数学问题例1.全世界每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源，已成为一项十分紧迫的任务.某地区原有沙漠面积为20万公顷，为了解沙漠面积的变化情况，该地区连续进行了三年的观察，并将每年年底的观察结果进行了记录，如下表，请根据这些数据，绘成曲线图.观察时间增加的沙漠面积/公顷第1年年底0.2万公顷第2年年底0.4万公顷第3年年底0.6万公顷（1）如果不采取措施，那么到第m年年底，该地

4、区沙漠的面积将变为__________万公顷；（2）如果在第5年年底，该地区采取植树造林等措施，每年改造0.8万公顷沙漠，那么，到第几年年底，该地区沙漠面积能减少到15万公顷？分析：题中存在两个变量：观察时间和沙漠面积，观察时间是自变量，沙漠面积是观察时间的函数.从表格中可以看出，沙漠面积每过一年都比上年年底增加0.2万公顷，若设第x年年底观察沙漠面积为y万公顷，则其表达式为y＝0.2x＋20，其中x的取值范围为非负整数.即x≥0且x为整数.到第m年年底该地区沙漠的面积将变为（0.2m＋20）万

5、公顷.如果在第5年年底，该地区采取植树造林等措施，每年改造0.8万公顷沙漠，则该地区沙漠的面积将每年减少0.8－0.2＝0.6（万公顷），而到第5年年底该地区沙漠的面积为0.2×5＋20＝21（万公顷），所以当x＞5时，y＝21－0.6（x－5）＝24－0.6x.求到第几年年底，该地区沙漠面积能减少到15万公顷，就是求y＝15时，x的值.解：如图所示，（1）0.2m＋20；（2）设到第x年年底该地区沙漠面积能减少到15万公顷.根据题意，有20＋0.2×5－（0.8－0.2）（x－5）＝15，解之

6、得，x＝15.评析：在确定函数关系时，要注意自变量的取值范围，在同一变化过程中不同的阶段函数关系是不同的.例2.某市20位下岗职工在近郊承包了50亩土地作为农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需的职工数和预计产量如下表所示.作物品种每亩地所需的职工数每亩地的预计产值蔬菜1100元烟叶750元小麦600元请你设计一个种植方案，使每亩地都能种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物的预计总产值最高.分析：题中有两个相等关系：三种农作物面积之和为50亩，共有职工20人，有三个未知量

7、，蔬菜、烟叶、小麦的种植亩数，由于未知数比相等关系多一个，所以不能求出三种农作物的种植亩数，因此只能找到它们之间的关系，通过分析这些关系使问题得到解决.解：设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，则种植小麦（50－x－y）亩，根据题意得：x＋y＋（50－x－y）＝20，即3x＋y＝90，所以y＝90－3x，再设预计总产值为W，则W＝1100x＋750y＋600（50－x－y）＝500x＋150y＋30000，把y＝90－3x代入W＝500x＋150y＋30000，得W＝50x＋43500.因为90－3x≥0，

8、所以0≤x≤30，由每亩蔬菜所需的职工数为可知x为偶数，由一次函数的性质知，当x＝30时，y＝90－3×30＝0，50－x－y＝20.此时W的值最大，为45000元.这时种蔬菜的人数为15人，种小麦的人数为5人，所以种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，这时所有职工都有工作，且农作物预计总产值最高，为45000元.评析：本题是求一次函数的最大值问题，一般情况下，一次函数是没有最值的，但当自变量在某一范围内取值时，在这个范围内的一次函数有最值，因此，解这类题目时，求出这个自变量的取值范围是非常重要的