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1、米老鼠外观曲面造型及模具设计1、相关定义1.1、B样条的定义及性质1.样条函数设X=(x0,x1,,xn),xi1.2、B样条曲面的定义给定(m+1)*(n+1)个控制顶点di,j,i=0,1,,m,j=0,1,n的阵列,构成一张控制网格。又分别给定参数u与v的次数k和l,和两个节点矢量u=[u0,u1,,um+k+1]和v=[v0,v1,,vn+l+1]。就定义了一张k×l次张量积B样条曲面。其方程为:其中,B样条基Ni,k(u)(i=0,1,,m)与Nj,l(v)(j=0,1,,n)分别由节点矢量u与v
2、按德布尔-考克斯递推公式决定。B样条曲面也具有局部性质,在子矩形域ue≤u1.3、参数曲面几何连续性定义两参数曲面的零阶几何连接性,即G0连续性是与C0连续性一致的,即两曲面具有公共连接线。两参数曲面的G1连续性又称为切平面连续性[3]197,其定义为:两曲面沿它们的公共连接线是G1的或是具有G1连续性,当且仅当它们沿该公共连接线处具有公共的曲面法线或公共的切平面。设两曲面为p(s,t)和q(u,v),它们有公共的连接线,就是p(γ)=q(γ)。当这条公共连接线不是曲面的等参数线时,则沿公共连接线上每一点处
3、都有不相重合的4个切矢ps(γ),pt(γ),qu(γ)和qv(γ),根据公共切平面的要求,这4个切矢应共面[3]197(如图4-1)。简记为”(γ)”,共面条件在数学上有如下表达式:(ps×pt)×(qu×qv)=(ps,qu,qv)pt?(pt,qu,qv)ps=0uvstp(s,t)ptq(u,v)q(?)qvpsp(?)qu图4-1四矢共面Fig.4-1Fourvectorsarecoplanar特殊地,当公共连接线是这两个曲面的等参数线p(s,t0)=q(u,v0),u=u(s)-27-时,在公共
4、等参数线上的任意一点处ps与qu平行,于是公共切平面要求就成为pt,qu,qv三矢共面条件(如图4-2),数学上表示为三矢混合积为零[3]198:(pt,qu,qv)=0或将一矢量表示成为另两个矢量的线性组合pt=h(u)qv+g(u)qu,h(u)>0q(u,v)p(s,t)svtuqvptpqsu图4-2三矢共面Fig.4-2Threevectorsarecoplanar其中,假设两跨界切矢pt与qv之一的方向指向公共等参数线,另一背离公共等参数线。h(u)>0保证两曲面在公共等参数线处不形成尖棱。特别
5、地,若g(u)=0,表明曲面p的t线与曲面q的v线跨公共等参数线是G1的;若又h(u)=1,则进一步表明又是C1的。当两曲面p与q都是m×n次参数多项式曲面时,为了保持曲面次数不变,应把函数h(u)取为常数,g(u)取为线性函数。4.3两双四次B-样条曲面G1光滑拼接我们设S1(u,v)与S2(s,v)是两个定义在矩形域I2=[0,1]×[0,1]上的具有公共边界C(v)=S1(0,v)=S2(0,v)的双四次B-样条曲面-28-,,(,)()()(,)()()002,,4,4001,,4,4∑∑∑∑===
6、===mimjijijmimjijijSsvQNsNvSuvPNuNv(4-3)其中,Ni,4(u)、Ni,4(s)和Nj,4(v)是由节点矢量W={0,0,0,0,0,t5,t6,???,tn,1,1,1,1,1}生成的四次B-样条基函数,这里ti1.4、管状曲面造型的定义定义1.2.1设S3:h(x,y,z)=0是一张与源曲面S1:f(x,y,z)=0及S2:g(x,y,z)=0都相交的代数曲面,称为控制曲面.设C1和C2分别是控制曲面S3和两源曲面S1、S2的交线,即:C1={(x,y,z)
7、h(x,
8、y,z)=0且f(x,y,z)=0},C2={(x,y,z)
9、h(x,y,z)=0且g(x,y,z)=0},且C1和C2都必须是非空集合.定义1.2.2过渡曲面,称如下形式的代数曲面S为给定的两源曲面S1和S2的过渡曲面S:F(x,y,z)=hn(x,y,z)+λf(x,y,z)g(x,y,z)=0.(1.1)其中n是一个大于1的整数,λ是与x,y,z无关的任意实数.1.5、双三次Hermite曲面造型的定义当参数分割u是关于参数u的一个递增序列时,在这样的分割上生成的参数三次Hermite插值曲线,在2.
10、1.2节中给出了定义。运用张量积知识对三次Hermite插值曲线进行张量,得到双三次Hermite插值曲面。给定拓扑点阵pi,j(i0,1,m..j.,;n0,,1且,..所.,决)定的两个参数分割u:u0u1...um,vv0:v1..分.nv别是关于参数和v的任意递增序列,拟合出一张分片为双三次Hermite曲面片,整体沿每个参数方向具有二阶连续偏导矢的双三次Hermite曲面。那么对于定义在子矩形域uiuu
