高中数学解题思想方法2-换元法

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1、二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是______________

2、_。3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝________________。4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是________________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1)·log(2－2)〈2的解集是____________________。Ⅱ、示范性题组：例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）【分析】由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入

3、①式求S和S的值。【解】设代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5解得S＝；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13…后面求S值域还可由sin2α＝的有界性而求（有界法）：【另解】设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，则xy＝±代入①式得：4S±5=5，移项平方整理得100t+39S－160S＋100＝0。∴39S－160S＋100≤0解得…【注】三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。其它换元法（和差换元）解：设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5……得a∈[0

4、,]S＝…＝2(a＋b)＝＋a∈[,]…例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）【分析】由A＋C＝2B，可得,则设，再代入可求cosα即cos。【解】…【另解】由＋＝－2，也可设＝－＋m，＝－－m再代入求。【注】均值换元法。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。y,,－x【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，sinx·cosx＝∴f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋（a>0

5、），t∈[-,]t＝-时，取最小值：－2a－2a－当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－；当0<2a≤时，t＝2a，取最大值：。∴…【注】局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况）。例4.设对所有实数x，不等式xlog＋2xlog＋log>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）【解】设log＝t，则log＝…log＝…原不等式简化为：【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。例5.已知＝，且＋＝(②式)，求的值。【解】设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky

6、，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：＋＝＝即：＋＝设＝t，则t＋＝,解得：t＝3或∴＝±或±【另解】由＝＝tgθ，将②式表示成tgθ而求出：【注】等量换元，减少变量个数。例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。【解】设＝cosθ，＝sinθ，即：代入不等式得：3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)所以k<-5时不等式恒成立。【注】三角换元法，化为三角不等式的值域问题；用分离参数法求出参数范围。yxx＋y－k>0k平面区域【另解】数形结合法：在平面直

7、角坐标系，不等式ax＋by＋c>0(a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。Ⅲ、巩固性题组：1.已知f(x)＝lgx(x>0)，则f(4)的值为_____。A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg42.函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]3.设等差数列{a}的公差d＝，且S

8、＝145，则a＋a＋a＋……＋a的值为_____。A.85B.72.5C.60D.52.54.已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。5.已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。6.不等