2018版高数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5第2章2.1第2课时　数列的通项与递推公式

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1、第2课时　数列的通项与递推公式1．理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)[基础·初探]教材整理　数列的递推公式阅读教材P30最后一行～P31例3，完成下列问题．1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前n项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方

2、法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1．下列说法中正确的有________(填序号)．①根据通项公式可以求出数列的任意一项；②有些数列可能不存在最大项；③递推公式是表示数列的一种方法；④所有的数列都有递推公式．【解析】　①正确．只需将项数n代入即可求得任意项．②正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的．③正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法．④错误．不是所有的数列都有递推公式．例如精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式．【答案】　①②③2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)

3、，则a5＝________.【解析】　因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31.【答案】　313．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝·an－1(n>1)，则a4＝_____.【解析】　依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝a2＝3；当n＝4时，a4＝a3＝4.【答案】　44．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝___________________.【解析】　因为a1＝－，an＋1＝1－，所以a2＝1－＝1＋2＝3，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.【

4、答案】　3[小组合作型]由递推关系写数列的项　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N*)，且a2016＝2，则a2015等于(　　)A．－　　　B.　　　C．－　　　D.(2)已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝________.【精彩点拨】　给n不同的取值，结合已知项逐步代入递推公式求解．【自主解答】　(1)由anan＋1＝1－an＋1，得an＋1＝，又∵a2016＝2，∴a2015＝－，故选C.(2)由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，∴a5＝a4＋a3＝8.【答案】　(1)C　(2)8由递推公式写出数

5、列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.[再练一题]1．已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．【解】　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.故该数列的前5项为1，，，，.数列的最大(小)项的求法　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)n(n∈N*)，试问数列{an}

6、有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．【精彩点拨】　【自主解答】　法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9＝a10＝.法二：设ak是数列{an}的最大项．则即整理得得9≤k≤10，∴k＝9或10，即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方

7、法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可．[再练一题]2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.【解】　(1)由n2－5n＋4<0，解得1