2018版高数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5第2章2.4第1课时　等比数列

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1、2．4　等比数列第1课时　等比数列1．理解等比数列的定义．(重点)2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)[基础·初探]教材整理1　等比数列的定义阅读教材P48～P49倒数第一行，完成下列问题．1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3

2、)满足的关系式：G2＝ab.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列一定是等比数列．(　　)(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．(　　)(3)等比数列中的项可以为零．(　　)(4)若a，b，c三个数满足b2＝ac，则a，b，c一定能构成等比数列．(　　)【解析】　(1)×.因为各项均为0的常数列不是等比数列．(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列．(3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0.(4)×.因为等比数列各项不能为0；若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，但是反之不成立，比如：a＝0，b＝0，c＝1，则a，b

3、，c就不是等比数列．【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×教材整理2　等比数列的通项公式阅读教材P49倒数第1行～P51例3，完成下列问题．1．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．2．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．1．在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an＝___

4、_____.【解析】　an＝a1qn－1＝4·3n－1.【答案】　4·3n－12．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.【解析】　∵a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝，②∴②÷①得：q3＝，∴q＝.【答案】　3．在等比数列{an}中，已知a2＝3，a5＝24，则a8＝__________________.【解析】　由得所以a8＝×27＝192.【答案】　192[小组合作型]等比数列的判断与证明　(1)下列数列是等比数列的是(　　)A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B．－1,1，－1,1，－1，…C．0,2,4,6,8,1

5、0，…D．a1，a2，a3，a4，…(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列.【精彩点拨】　(1)利用等比数列的定义判定．(2)先利用Sn与an的关系，探求an，然后利用等比数列的定义判定．【自主解答】　(1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B．由等比数列定义知该数列为等比数列．C．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D．当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列．【答案】　B(2)证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(

6、2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0，∴＝，∴{an}是等比数列．判断一个数列{an}是等比数列的方法：(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．[再练一题]1．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn

7、＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．【证明】　由已知得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，故＝＝3－(n＋1)－3＋n＝－1＝2，∴数列{bn}是等比数列．∵b1＝3－1＝，∴bn＝×2n－1＝2n－3.等比中项　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)A．±4　　　B．4　　　C．±　　　D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．【精彩点拨】　(1)用定义求等比中项．(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．【自主解答】　(1)由an＝·2