2018版高数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5第1章1.1.1正弦定理

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1、1．1　正弦定理和余弦定理1．1.1　正弦定理1．掌握正弦定理及基本应用．(重点)2．会判断三角形的形状．(难点)3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1　正弦定理阅读教材P2～P3探究下面第5行，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理适用于任意三角形．(　　)(2)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立．(　　)(3)在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.(　　)【解析】　(1)√.正弦定理适用于任

2、意三角形．(2)√.由正弦定理知＝，即bsinA＝asinB.(3)×.由正弦定理可知＝，即＝，所以sinB＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×教材整理2　解三角形阅读教材P3“思考”上面倒数第二行～P4例2，完成下列问题．1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝_

3、_______.【解析】　由正弦定理得：＝，所以AC＝＝2.【答案】　22．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________.【解析】　由正弦定理得：＝，所以sinB＝.又a>b，所以A>B，所以B＝，所以C＝π－＝.【答案】　3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于_________________．【解析】　AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin45°＝.【答案】　[小组合作型]已知两角及一边解三角形(1)在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等

4、于(　　)A.B.C.D.(2)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝________.【精彩点拨】　(1)可先由角A，B求出角C，然后利用正弦定理求b.(2)直接利用正弦定理求解．【自主解答】　(1)因为A＝75°，B＝60°，所以C＝180°－75°－60°＝45°.因为c＝，根据正弦定理＝，得b＝＝＝.(2)由正弦定理知：＝，则＝，解得AC＝4.【答案】　(1)A　(2)4已知两角及一边的三角形解题方法：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角

5、形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[再练一题]1．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.【解析】　∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.【答案】　2已知两边及一边的对角解三角形　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.(2)在△ABC中，已知a＝2，b

6、＝6，A＝30°，求B，C和c.【精彩点拨】　(1)由正弦定理的特点，直接求解．注意三角形解的个数问题．(2)先利用正弦定理求角B，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c.【自主解答】　(1)由正弦定理，得＝.把A＝，a＝1，b＝代入，解得sinB＝.因为b＞a，所以B＞A，结合题意可知B＝或.【答案】　或(2)由正弦定理得sinB＝＝＝，又a＝2，b＝6，a

7、，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[再练一题]2．在△ABC中，c＝，C＝，a＝2，求A，B，b.【解】　∵＝，∴sinA＝＝，∴A＝或π.又∵c>a，∴C>A，∴A＝，

8、∴B＝，b＝＝＝＋1.[探究共研型]正弦定理的主要功能探究1　已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．【提示】　如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2RsinA，即＝2R，同理＝2R，＝2R，所以＝＝＝2R.探究2　由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？【提示】　由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sinA＝，a＝2Rsin