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1、抽屉原理及其应用---数学论文本科生毕业设计(论文)抽屉原理及其应用二级学院:数学与计算科学学院专业:数学与应用数学年级:学号:作者姓名:指导教师:完成日期:2013年5月6日目录1抽屉原理11.1抽屉原理简述21.2抽屉原理的一般含义和三种推广形式22抽屉原理的应用22.1抽屉原理的应用范围及解题思路22.2抽屉原理在代数中的应用32.3抽屉原理在初等数论中的应用52.4抽屉原理在几何中的应用72.5抽屉原理在离散数学中的应用82.6抽屉原理在生活中的应用92.7抽屉原理在其他领域的应用.103总结11抽屉原理及其应用摘要:结合实例探讨抽屉原理在代数、数论及几何等问题中的应用.
2、关键词:抽屉原理;构造方法;应用DirichletDrawerPrincipleanditsApplicationsAbstract:Withthepracticeexamples,someapplicationsofDirichletDrawerPrincipleonalgebraic,numbertheoryandgeometryproblemsarediscussedKeywords:DrawerPrinciple;structure;application1抽屉原理1.1抽屉原理简述?在日常生活中,我们有这样的常识,把三个苹果分放到两只抽屉里,共有四种摆放方法,见表1.分
3、析这张表中的数据,无论是那一种放法,其中必有一只抽屉里至少有2个苹果,更一般地说,只要被放置的苹果数比抽屉数目大,就一定会有两个或更多个苹果放进同一只抽屉,可不要小看这一简单事实,它包含着一个重要而又十分基本的原理??抽屉原理.表1放法抽屉1抽屉2最大者I3?203II2?212III12?22IV03?23抽屉原理抽屉原则,又叫鸽笼原则或者重叠原则,它是由德国数学家狄利克雷提出来的,因此,也叫狄利克雷原则.1.2抽屉原理的一般含义和三种推广形式抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有或多于个元素放到个集合中去,其中必定至少有一个集合
4、里有两个元素.”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理.原理:把多于个的物体放到个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件.原理:把多于乘以个的物体放到个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于的物体.原理:把无穷多件物体放入个抽屉,则至少有一个抽屉里有无穷个物体.2抽屉原理的应用2.1抽屉原理的应用范围及解题思路抽屉原理在数学、物理领域都应用广泛,本文主要讨论抽屉原理在代数问题、数论问题及几何问题中的应用.一般地说,用抽屉原理来解决的数学问题有如下特征:新给的元素具有任意性,如八个苹果放入七个抽屉,可以随意的一个抽屉放几个,也可以让抽屉空着,问题的结论是存在性命题,题中常含有“至少有…”,“
5、一定有…”,“不少于…”,“存在…”,“必然有…”等词语,其结论只要存在,不必确定,前面的内容已经介绍了一些常用的构造抽屉的方法,这对我们的解题有很大的帮助,下面将从代数,数论,几何三方面来谈抽屉原理在数学解题中的应用.2.2抽屉原理在代数中的应用例2.2.1证明:有限群中的每个元素的阶均有限.证明:设为阶有限群,任取,则由抽屉原理可知中必有相等的,不妨设于是有,从而的阶有限.例2.2.2证明:有限群中的每个元素的阶均有限.证明:设为阶有限群,任取,则由抽屉原理可知中必有相等的,不妨设于是有,从而的阶有限.例2.2.3证明只含有限个理想的非零整环必是域证明:根据魏得邦定理,只需证
6、明是除环即可.设是环且,则是除环当且仅当对中任意元素,方程或在中有解在中任取元素.考虑易知,都是的理想,但由于整环只有有限个理想,根据抽屉原理.必存在正整数与满足,,从而存在,使或,即方程在中有解根据定理,是除环,由魏得邦定理,原命题得证例2.2.4已知齐次线性方程组其中,证明存在不全为零的整数适合证明:令,,则该齐次线性方程组可写成设集合:映射,是一个满射,显然,因为-1,0,1,所以对每个,它的个分量适合(i1,2,,n)因此且根据抽屉原理得:映射形式设和是两个有限集,如果那么对从到的任何满映射,至少存在,,使.中至少存在两个不同的元使,即,令,则即是我们所要求的,是不全为零
7、的整数,且满足例2.2.5设为阶方阵,证明存在1,使秩秩秩证明:因为阶方阵的秩只能是这+1个数之一.,的个数多于秩的个数,由抽屉原理可知,存在,满足使秩秩,但秩秩…秩,所以秩秩,利用此式与秩的性质得秩秩+秩-秩,这里的是任意三个可乘矩阵,用数学归纳法可证秩秩.其中为非负整数,故命题的结论成立.秩秩秩.2.3抽屉原理在初等数论中的应用在初等数论中,很多问题都可以看作存在性问题,所以可以考虑利用抽屉原理进行解决,利用抽屉原理解决数论问题时常利用整数的性质制造抽屉例2.3.1(中国式余
