2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案第2章 章末小结小结与测评含答案

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1、一、平面向量的概念1．向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量．2．表示方法用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用，，…表示．3．模向量的长度叫向量的模，记作

2、a

3、或

4、

5、.4．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的．5．单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝±.-10-6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．7．相等向量长度相等且方向相同的向量

6、叫相等向量．[说明]　向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．二、平面向量的线性运算1．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则．[说明]　要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减

7、法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．3．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：

8、λa

9、＝

10、λ

11、

12、a

13、.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.三、两个定理1．向量共线定理(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0

14、)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当-10-e1，e2互相垂直时，就称为向量的正

15、交分解．[说明]　零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．四、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

16、a

17、

18、b

19、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

20、a

21、

22、b

23、cosθ.(3)数量积的几何意义：数量积a·b

24、等于a的模与b在a方向上的投影

25、b

26、cosθ的乘积．[说明]　b在a方向上的投影

27、b

28、cosθ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．平面向量数量积的性质设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.(1)e·a＝a·e＝

29、a

30、cosθ.(2)当a与b同向时，a·b＝

31、a

32、

33、b

34、；当a与b反向时，a·b＝－

35、a

36、

37、b

38、，特别地，a·a＝

39、a

40、2，或

41、a

42、＝.(3)a⊥b⇔a·b＝0.(4)cosθ＝.(5)

43、a·b

44、≤

45、a

46、

47、b

48、.[说明]　(1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不

49、一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[说明]　数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．4．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

50、a

51、＝；-10-(3)

52、cos〈a，b〉＝；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.[说明]　x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的条件，后者是它们垂直的条件．　(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．＋－＋化简后