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时间:2018-07-23
《2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第二章 §4 导数的四则运算法则 》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案§4导数的四则运算法则导数的加法与减法法则已知f(x)=x,g(x)=x2.问题1:f(x),g(x)的导数分别是什么?提示:f′(x)=1,g′(x)=2x.问题2:试求Q(x)=x+x2的导数.提示:因Δy=Δx+2xΔx+(Δx)2,=1+2x+Δx,当Δx→0时,f′(x)=1+2x.问题3:Q(x)的导数与f(x),g(x)的导数有何关系?提示:Q(x)的导数等于f(x),g(x)的导数和.问题4:对于任意函数f(x),g(x)都满足(f(x)+g(x))′=f′(x
2、)+g′(x)吗?提示:满足.导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x),[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x).导数的乘法与除法法则已知函数f(x)=x3,g(x)=x2.问题1:[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g′(x)成立吗?提示:不成立,因为[f(x)·g(x)]′=(x5)′=5x4,而f′(x)·g′(x)=3x2·2x=6x3.问题2:能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数?如何表示?提示:能.因f′(x)=3
3、x2,g′(x)=2x,(f(x)g(x))′=5x4,有(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+82017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案f(x)g′(x).问题3:对于其他函数还满足上述关系吗?提示:满足.导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x),则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)′=.(2)[kf(x)]′=kf′(x).1.注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和;的导数的分子是f′(x)g(x)与
4、f(x)g′(x)之差,分母是g(x)的平方.2.[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x),′≠.3.常数与函数乘积的导数,等于常数与函数的导数之积.利用导数的运算法则求导数[例1] 求下列函数的导数:(1)y=x4-3x2-5x+6;(2)y=x2+log3x;(3)y=x2·sinx;(4)y=.[思路点拨] 结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导.[精解详析] (1)y′=(x4-3x2-5x+6)′=(x4)′-3(x2)′-5x′+6′=4x3-6x-5.(2)y′=(x2+log3x)′82017-2018
5、学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案=(x2)′+(log3x)′=2x+.(3)y′=(x2)′·sinx+x2·(sinx)′=2x·sinx+x2·cosx.(4)y′===.[一点通] 解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,一般综合了和、差、积、商几种运算,在求导之前应先将函数化简,然后求导,以减少运算量.1.下列求导运算中正确的是( )A.′=1+ B.(lgx)′=C.(lnx)′=xD.(x2cosx)′=-2xsinx解析:′=1-,故A错;(lnx)′=
6、,故C错;(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx,故D错,故选B.答案:B2.设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于( )A.B.C.D.解析:f′(x)=3ax2+6x,∴f′(-1)=3a-6=4,解得a=.答案:D3.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=( )A.e2B.eC.D.ln2解析:f′(x)=x·+lnx=1+lnx,因为f′(x0)=2,即1+lnx0=2,82017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案所以lnx0=1,x0=e.答案:B4.求下列函
7、数的导数.(1)y=3x2+xcosx;(2)y=lgx-;(3)y=(x+1)(x+2)(x+3).解:(1)y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′=6x+cosx-x·sinx.(2)y′=′=(lgx)′-′=+.(3)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=(x3+6x2+11x+6)′=3x2+12x+11.导数与曲线的切线问题[例2] 已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-
8、6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.[精解详析] (1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=
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