2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第二章 §5 简单复合函数的求导法则

《2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第二章 §5 简单复合函数的求导法则 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案§5简单复合函数的求导法则已知y＝(3x＋2)2，y＝sin.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明y＝(3x＋2)2如何复合的．提示：令u＝g(x)＝3x＋2，则y＝u2，u＝3x＋2，y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.问题3：试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数．提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.问题4：观察问题3中导数有何关系．提示：y′＝[f(g(x))]

2、′＝f′(u)·g′(x)．1．复合函数的概念对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：(1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数．(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数．72017-20

3、18学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案简单的复合函数求导[例1]　求下列函数的导数：(1)y＝sin3x；(2)y＝；(3)y＝lg(2x2＋3x＋1)；(4)y＝sin2.[思路点拨]　先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．[精解详析]　(1)设y＝sinu，u＝3x，则y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·(3x)′＝cosu·3＝3cos3x.(2)设y＝u－，u＝1－2x2，则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x2)′＝－u－·(－4x)＝－(1－2x2)(－4x)＝2x(1－2x2).(3

4、)设y＝lgu，u＝2x2＋3x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝(lgu)′·(2x2＋3x＋1)′＝·(4x＋3)＝.(4)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋.则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝2sinv·cosv·2＝2sin2v＝2sin.[一点通]　求复合函数导数的步骤：①确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y＝f(u)，u＝g(x)；②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f′(u)，再求g′(x)．③计算f′(u)·g′(x)，并把中间变量转化

5、为自变量的函数．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．72017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案1．函数y＝的导数是(　　)A.　　　　　　　B.C．－D.－解析：∵y＝＝(3x－1)－2，∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝－6(3x－1)－3＝－答案：C2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.答案：103．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝sin

6、3x＋sinx3；(3)y＝.解：(1)设y＝，u＝3－x，则y′x＝y′u·u′x＝·(－1)＝－.(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2·cosx3.(3)设y＝u－4，u＝1－3x，∴y′＝(u－4)′(1－3x)′＝(－4u－5)·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5.复合函数导数的综合问题[例2]　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在

7、t＝18时的导数，并解释它的实际意义．72017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案[精解详析]　设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝t＋.由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·＝cos.将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)．它表示当t＝18h时，潮水的高度上升的速度为m/h.[一点通]　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．4．(新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在

8、点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)A．0B．1C．2D.3解析：y′＝a－，由题意得y′

9、x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案：D5．f(x)＝，且f′(1