仓库存储问题描述

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1、问题描述某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为；每次进货的订货费为常数与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存储商品时，单位商品每天的存储费用记为，使用租借的仓库存储商品，单位商品每天的存储费用记为，且；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为；每次订货，设货物在天后到达，交货时间是随机的；自己的仓库用于存储该商品的最大容量为，每次到货后使这种商品的存储量补充到固定值为止，且；在销售过程中每当存储量降到时即开始订货。建立单种商品总损失费用达到最低的订货点（最优订货点）的数学模型。问题分析本题所研究

2、的主要对象就是由消费者、商场、供货方三方组成的一个消费链。其示意图见图1。消费者决定参数商场由，确定参数供货方决定参数图.1消费链示意图如图中所示，在实际生活中消费者与商场的相互作用决定了商品的消费速率，供货方与商场的相互作用决定了到货时间，而且两者应该均为随机变量。在考虑以上两种随机变量的影响的情况下，根据商场所掌握的数据如每次订货的订货费用，仓库存储费用、，缺货情况下单位商品每天的损失以及存储商品的最大容量、等参数，确定最佳订货点。模型的假设和符号说明模型的假设⑴订货点的取值范围为：。⑵到货天数为离散型随机变量，且，当时，令其概率。⑶订货周

3、期包括从周期开始到订货日期和从订货日期到货到日期两部分组成，即订货周期。并且每次货到时，均将货存量加到。⑷商品存储时，首先存储满自己仓库然后，再存储到租借仓库。⑸商品销售时，首先销售完租借仓库商品，再销售自己仓库商品。⑹在商品的存储与销售过程中，两种仓库的商品在使用上是连续的。即当商品存满自己仓库后，立即存入租借仓库；当租借仓库商品售完后，立即出售自己仓库商品。⑺计算缺货损失时，缺货量采用累计计算方法。即前一天缺货量自动累计到下一天，而不是当作常量来处理。模型的符号说明某种商品的销售速率，即每天销售某商品的数量每次订货的订货费用单位商品在自己仓

4、库中每天的存储费用单位商品在租借仓库中每天的存储费用缺货情况下单位商品每天的损失自己仓库用于存储商品的最大容量商品的总存储量(自己仓库最大存储量与租借仓库最大存储量之和)任意时刻仓库中商品的存储量订货点，即订货时仓库中商品存储量使总损失费达到最低的最优订货点订货周期周期商品存储总费用，包括商品储存费和缺货时损失费周期内商品平均存储费用到货天数，即从订货点时刻到货到时的时间间隔随机变量所对应的概率周期商品总平均存储费用数学期望模型的建立本问题的建模思路：首先，根据题目所给条件以及本文假设条件得到仓库商品的几种存储状态示意图；然后，对于我们得到的商

5、品存储各个不同状态，导出一个周期内商品库存总费用表达式以及该周期内商品库存平均总费用表达式；最后，根据得到的商品库存平均费用表达式求得目标函数表达式，并建立求解最低的订货点的方法。⑴内仓库商品存储状态示意图的得到根据问题所给条件：某种商品的销售速率为一恒定值，可以容易得到一周期内仓库商品存储量随时间变化的直线方程：。依据本文假设得到订货点的取值范围为：，由于到货天数为随机变量，容易分析出商品存储状态示意图应该包括三种情况（见图.2）：①货到时，商品库存量介于与之间。此时订货周期，依假设订货周期，整理得此时的取值范围为：；②货到时，商品的库存量介

6、于0与之间。此时订货周期，整理得到此时取值范围为：；③货到时，商品的库存量为零，即处于缺货状态。此时订货周期，整理得此时的取值范围为：。根据上述三种情况分别画图即可得到仓库商品存储状态示意图。图.2不同情况仓库商品存储状态示意图⑵商品存储费用表达式的得到图.2中a,b,c图分别表示了在不同取值范围情况下一个周期内商品库存量的变化情况，图中阴影部分的面积与其相应权重（c2,c3或c4）的乘积和即为一周期内商品库存总费用，表达式如下：……………①经积分得到如下结果：……………②由此，可以得到一周期内的平均费用，将周期的表达式代入方程组②，并整理可得

7、：……………③为了方便起见，我们令⑶目标函数的建立及优化由题目给出为离散随机变量，更切合实际的平均费用应为一周期内平均费用的数学期望。所以题目所要求解的最低订货点即为使取最小值所对应的值，即目标函数应为。由本文假设可知订货点的取值范围为，那么函数定义域跨越了0点，此时应分为两种情况描述：I．当时，此时，，其中为离散随机变量所对应的概率分布列。II．当时，由于离散随机变量(货到天数)为非负值，由假设可知当时，其概率，此时，在实际问题中，在其取值范围内必定存在最优值使得最小。此最小值应该在定义域边界上达到或者在定义域内部达到。其中在定义域内部达到的

8、极小值，必定使对的一阶偏导数为零。且我们得到的如下：其中，令即可解得使得总平均损失费用达到极小值的订货点。再将其与和时的值进行比较就可以得到该定义域上