第7讲.尖子班.例题详解

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1、7数表与幻方数表与幻方幻方的构造1的正方形中，在每个格子里分别填入的个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．【分析】方法一：第一步：求幻和：第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：第三步：确定四个角上的数．由于在同一条直线上的三个数的和是15，所以如果某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角上

2、的数必为偶数．第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共8解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：方法二（对易法）：南宋数学家杨辉概括为:“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．即：先把到九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字和对调，左右的数字和对调，最后把个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了．方法三（阶梯法）：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法看起来有点像对易法，但又完全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方．这个方法把8▎四年级·第7讲·尖子班·例题详解▎阶方阵从四

3、周向外扩展成阶梯状，然后把个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下图表示了如何用阶梯法构成3阶幻方．方法二和方法三中将按8个不同的方位排列就可以得到本题8个不同的解．方法四（罗伯法）：把（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：⑴每一个数放在前一个数的右上一格；⑵如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列．⑶如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行．⑷如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数

4、的下面，具体如下图：这是法国人罗伯特总结出的方法，所以叫“罗伯法”．罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．［练习］大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意强调细节．上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上．强调这种方法适用于任意奇数阶幻方．2请你将这二十五个自然数填入的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之

5、和相等．【分析】①罗伯法：教师边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样”．见第二个图．这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．8▎四年级·第7讲·尖子班·例题详解▎②阶梯法：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方．这个方法把阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下面的图⑴和图⑵表示了如

6、何用阶梯法构成5阶幻方．图⑴中顶边以上的4、5、10三个数在图⑵中被移入底边上方相应的3个原先为空的方格中，其余三侧照此处理．⑴⑵⑵练习：大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意强调细节．上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上．强调这种方法适用于任意奇数阶幻方．3用编制一个四阶幻方．【分析】对于偶数阶幻方的构造略微复杂一点，偶数阶幻方分为两类：双偶数阶幻方，即阶数是4的倍数的数；单偶数阶幻方，即阶数是2的倍数但不是4的倍数．构造双偶数阶幻方有一种简单而有趣的方法，

7、叫做“对称法”．其构造方法如下：⑴把所求的数按从上到下、从左到右的次序顺序排成n阶自然方阵，每个小四阶方阵中对角线上的数都不填．⑵按自下而上、从右到左的相反方向重复⑴的过程，但这次只填每个小四阶方阵中对角线穿过的方格，这样便可得到一个任意双偶数阶幻方．用对称法编制四阶幻方，步骤如下：⑴在的方阵中都画上2条对角线，如图1；⑵按从上到下、从左到右的次序在方阵中填入1到16，但只填对角线不穿过的方格．凡有对角线通过的方格则跳过，如图2；⑶最后，按自下而上、从右到左的相反方向重复⑵的过程，但这次只填对角线穿过的方格，而跳过对角线所经过的方格（因为这些方格中已