第9讲.尖子班.例题详解

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1、9加法原理分类讨论问题中加法原理的应用1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【分析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人．从四年一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任意选一名男生当升旗手的方法有：种21995的数字和是．问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?【分析】小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余

2、三位数字和是23．因为十位、个位数字和最多为，因此，百位数字至少是5．于是百位为5时，只有1599一个；百位为6时，只有1689，1698两个；百位为7时，只有1779，1788，1797三个；百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个；百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个；根据加法原理，总计共个．31、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?【分析】按插入乘号的个数进行分类：⑴若插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个

3、空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：，，．6▎四年级·第9讲·尖子班·例题详解▎⑵若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：，，．⑶若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下：．所以，根据加法原理共有种不同的乘积．4某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？【分析】分两类情况讨论：⑴都会的这1人被挑选

4、中，则有：①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有种方法．②同样，这人做电工，也有9种方法．⑵都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法；从3名电工中选2人，也有3种方法，一共有种方法．所以，根据加法原理，一共有种方法．5把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？【分析】(一)甲最少分到一支，最多分到5支，因此可以分为5类：第一类：5种第二类：4种第三类：3种甲乙丙甲乙丙甲乙丙11521431312422332213323233114224115

5、1第四类：2种第五类：1种甲乙丙甲乙丙412511421所以一共有种分法．(二)将铅笔排成一排，用两块挡板将这一排铅笔隔开成三份，然后分与甲、乙、丙，挡板可插入的位置一共有个，6个位置中安插两个不分次序的挡板一共有种方法．处理分东西的问题用隔板(挡板)法可以顺利解决．6▎四年级·第9讲·尖子班·例题详解▎6三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【分析】方法一：把14分为三个不小于3的整数和，有以下分类：①3，3，8；②3，4，7；③3，5，6；④4，4，6；⑤4，

6、5，5．第①，④，⑤种分法中，都有重复数字出现，以①为例，我们可以先从三所学校中选出一所出8个节目，有3种选法，这样另外两所一定是各出3个节目，即在①的条件下，三所学校演出节目数的不同情况有3种，④，⑤同理，也各有3种．第②，③种分法中，没有重重数字出现，三个学校各对应一个节目数，并且这些数字是不相同的，每种分法各包含种不同的情况．利用分类计数原理，共有种不同的情况．方法二：由于每校至少演出3个节目，所以可以由每所学校先分别出2个节目，剩下的8个节目再由3所学校分，也就是在8个物体间插入2个挡板，8个物体一共有7个间隔，这样的话一共有种方法．

7、标号、图示法在加法原理中的应用7在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从到的最短路线有多少种？【分析】因为在的右下方，由标号法可知，从到的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和．有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从到的最短路线有22条．6▎四年级·第9讲·尖子班·例题详解▎8从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图所示(虚线表示在地球背面的航线)，则从北

8、京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？【分析】第一站到东京的路线有10条：同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有10条，不同的路线共有条．加法