2.3：不等式的证明(1)比较法

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1、2.3不等式的证明（1）比较法【知识要点】1．作差比较法：理论依据：证明步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断。1．作商比较法：理论依据：当时，证明步骤：（1）判断（判断能否作商）；（2）作商；（3）变形；（4）判断。【基础训练】1．已知，设，则A、B的大小关系为。2．已知是两个不相等的正数，，则M与N的大小关系为。3．若，则与的大小关系为。4．若，则与的大小关系为。【精选例题】例1．已知，求证：。解法指导：对于二次型的不等式的证明，我们可考虑“作差法、配方法、判别式”。方法一：所以。方法二：所以。方法三：所以，所以。思考题：已知，求证：。方法一：作差整理成关于的二次式，再配

2、方。方法二：作差整理成关于的二次式，再用证明。例2．（2000年上海春季高考题）设函数，若且，证明：。解法指导:利用等价命题证明。证明：，因为，所以，所以，所以，即得。例3．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦元/，二等小麦元/。现有一等品小麦，二等品小麦。若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？解：平均价格为元/4。如以此价格统一收购，则收购费用为元；而原定方案收购费用为（）元。因为。又因为，所以，所以（1）若，则收购站得利；（2）当时，两种方案费用一样；（3）当时，则收购站吃亏。例4．已知函数，如，判断与的大小并加以证明。解：—=因为，所以，当且仅当时取等号。（1）当时，；

3、（2）当时，。【能力训练】一、选择题：1．已知，则P与Q的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）不能确定2．设,则“”是“”的（）（A）充分条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分又不必要条件3．现给出下列三个不等式：，其中恒成立的不等式共有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4.设复数且,则M、N的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）不能比较大小二、填空题：5．若，则（比较大小）。6．当时，（比较大小）。7．设，则P、Q之间的大小关系为。8．设，则（比较大小）。三、解答题：9．设，证明：。10．设证明下列不等式。（1）（2）11．设是由正数组成的等

4、比数列，是其前项的和。证明：。