中考专题_一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

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1、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。 【经典范例引路】例1若关于x的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m且m≠2D.m≥且m≠2（2001年山西省中考试题） 【解题技巧点拨】解C①解答此题

2、时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax2＋bx＋c＝0作为一元二次方程时a≠0”的情形解题原理：对方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）Δ<0方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0”题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。例2先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。解法1∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0β2＋2β－7

3、＝0且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2由求根公式得α＝－1＋2β＝－1－2∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋2）2＋3(－1－2)2＋4(－1－2)＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝32解法3由已知得：α＋β＝－2αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18令α2＋3β2＋4β＝Aβ2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4

4、(β－α)＝0②①＋②得：2A＝64∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22＋3x2－66的值。解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根∴x1＋x2＝1且x12－x1－9＝0x22－x2－9＝0即x12＝x1＋9x22＝x2＋9∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16 【同步达纲练习】一、填空题1.如果关于x的方

5、程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是。2.若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则k的取值范围是。3.如果m为实数，方程x2－mx＋m2＋m＋＝0的根的情况是。4.设x1、x2是方程2x2－3x＋m＝0的两根且8x1－2x2＝7，则m的值是。5.已知实数a、b满足a2－7a＋2＝0b2－7b＋2＝0则＋＝。 二、选择题6.关于x的方程3x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k7.已知方程组无解，那么k的取值范围是（）A.k>B.k<

6、C.k<－D.k>－8.以一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根之和与两根之积为根的一元二次方程是（）A.y2＋5y－6＝0B.y2＋5y＋6＝0C.y2－5y＋6＝0D.y2－5y－6＝09.若α、β是方程x2－3x－5＝0的两根，则α2＋2β2－3β的值是（）A.21B.24C.27D.2910.甲、乙两同学在解方程x2＋px＋q＝0时，甲看错了一次项系数得两根为2，7，乙看错了常数项，得两根为1，－10，则原方程是（）A.x2－9x＋14＝0B.x2＋9x－10＝0C.x2－9x＋10＝0D.x2＋9x＋14＝0 三、解答题11.已知关于x的方程

7、4x2＋4bx＋7b＝0有两个相等的实数根，y1、y2是关于y的方程y2＋(2－b)y＋4＝0的两个根。求以、为根的一元二次方程。  12.已知关于x的方程x2－x＋k＝0有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围（2）化简

8、－k－2

9、＋  13.已知关于x的方程（a2－1）x2＋2(a＋2)x＋1＝0有实数根。求a的取值范围。（提示：分a2－1＝0，a2－1≠0讨论）  14.已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＋2k－1＝0①（1）求证，对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程y2－(x1＋x2－2k)y＋(x

10、1－k)(x2－k)＝0②的根。其中x1、x2是方程①的两根求代数式（－）÷·的值。  15.已知方程2x2