2019版一轮优化探究文数第五章 第一节 平面向量的概念及其线性运算练习

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1、苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习一、填空题1.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=________.解析:由题目条件可知,M为△ABC的重心,连结AM并延长交BC于D,则=,因为AD为中线,则+=2=3,所以m=3.答案:32.如图所示,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则++=________.解析:∵=,∴+=+==,得++=0(或++=++=+=0).答案:03.如图,命题:点P,Q是线段AB的三等分点,则有+=+,把此命题推广,设点A1,A2,A3,…,An-1是AB的n等分点(n≥3),则有1+2+…+n-1=_

2、_______(+).解析:当n=3时,则应填1,当n=4时,1+2+3=3+++=3+=3+(-)=(+),由归纳推理知填.5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习答案:4.已知a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为________.解析:A、B、C三点共线⇔∥⇔λ1λ2-1×1=0⇔λ1λ2=1.答案:λ1λ2-1=05.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________心.解析:由题意得,=λ(+),令+=,则AD与B

3、C互相平分,又=λ,即P点在直线AD上,而AD在BC边的中线上,所以P点的轨迹必经过△ABC的重心.答案:重6.a,b是两个不共线的向量,若=2a+kb,=a+b,=2a-b,且A、B、D三点共线,则实数k的值等于________.解析:由于A、B、D三点共线,故∥,又=2a+kb,=-=a-2b,故由2a+kb=λ(a-2b)可解得k=-4.答案:-47.已知两个不共线的向量,的夹角为θ,且

4、

5、=3.若点M在直线OB上,且

6、+

7、的最小值为,则θ的值为________.解析:如图作向量=,则+=,其中点N在直线AC上变化,显然当ON⊥AC时,即点N到达H时,

8、

9、有最小值,且∠O

10、AH=θ,从而sinθ==,故θ=或θ5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习=(根据对称性可知钝角也可以).答案:或π8.已知O是正三角形ABC内部的一点,+2+3=0,则△OAB的面积与△OAC的面积比值是________.解析:分别延长OB到B1,OC到C1,使=2,=3,故++=0,所以O为△AB1C1的重心,则S△OAB1=S△OAC1,==.答案:9.若=a,=b,下列向量中能表示∠AOB平分线上的向量的是________.①+    ②λ(+),λ由确定③④λ(),λ由确定解析:由平面几何知识知∠AOB的平分线可视为以OA,OB所在线段为邻边的菱形的对角线OM所

11、在的直线,故=λ(+),其中λ由确定.答案:②二、解答题10.如图所示,ABCD是一个梯形,AB∥CD且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,已知=a,=b,试用a,b表示和.解析:连结CN,N是AB的中点,5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习∵DC∥AB,且DC=AN,∴四边形ANCD是平行四行形,则=-=-b.又++=0,且=a,∴=--=-a+b,=-=+=a-b.11.设i、j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且=-2i+mj,=ni+j,=5i-j,若点A、B、C在同一条直线上,且m=2n,求实数m、n的值.解析:=-=(n+2)i+(1-

12、m)j,=-=(5-n)i+(-2)j.∵点A、B、C在同一条直线上,∴∥,即=λ,∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i+(-2)j],∴,解得或.12.如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b.(1)用a、b表示;(2)已知在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p,=q,求证:+=1.5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习解析:(1)设=ma+nb,则=(m-1)a+nb,=-a+b.∵点A、M、D共线,∴与共线,∴=,∴m+2n=1.①而=-=(m-)a+nb,=-a+b.∵C、M、B共线,∴与共线,∴=,∴4m+n

13、=1.②联立①②可得m=,n=,∴=a+b.(2)证明:=(-p)a+b,=-pa+qb,∵与共线,∴=,∴q-pq=-p,即+=1.5

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