函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

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1、广东省成人高考网www.gdchengkao.com年级高升专/本学科数学版本广东成人高考专用教材内容标题函数的定义域与值域、单调性与奇偶性编稿老师广东省成人高考网教材编写组—数学组【本讲教育信息】一.教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二.教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。三.教学重点：函数性质的运用．四.教学难点：函数性质的理解。［学习过程］一、知识归纳：1.求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二

2、次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2.求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的

3、式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3.求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）www.gdchengkao.com第11页版权所有不得复制广东省成人高

4、考网www.gdchengkao.com（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4.求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方

5、法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5.函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（－x）的关系。f（x）－f（－x）＝0f（x）＝f（－x）f（x）为偶函数；f（x）+f（－x）＝0f（x）＝－f（－x）f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6.周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意x

6、满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例1.若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或

7、b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝2·2·2＝8个。例2.线段

8、BC

9、＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设

10、AM

11、＝y，

12、AB

13、＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。解：1°若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，www.gdchengkao.com第11页版权所有不得复制广东省成人高考网www.gdchengkao.comx2＝22+y2－4ycos∠AMB①（6－x）2＝22+y2－4ycos（180°－∠AMB）②①+②x2+（6

14、－x）2＝2y2+8∴y2＝x2－6x+14又x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，∴又三点A、B、C能构成三角形∴1＜x＜52°若三点A、B、C共线，由题意可知，x+4＝6－x，x＝1或4+6－x＝xx＝5综上所述：说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例3.设f（x）为定义在R上的偶函数，当x