2007-2008学年‘量子力学第一学期(a)卷参考解答及评分标准

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1、2007-2008学年第一学期《量子力学》（A）卷参考解答及评分标准一、简答题1.能级简并、简并度。答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为能级简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。2.用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在球壳中被测到的几率。解：。3.粒子在一维势阱中运动，波函数为，写出的跃变条件。解：。4.写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。解：；。二、填充题5.量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为，展开式系数6.一个电子运动的旋量波函数为，电子自旋向上（）、位置在处

2、的几率密度为；电子自旋向下（）的几率为。7.二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为耦合表象5和非耦合表象；它们的力学量完全集分别是和；在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是和。8.计算下列对易式：(1)（2）三、证明题9.设力学量不显含时间，证明在束缚定态下，。证：设束缚定态为，即有，，。因不显含时间，所以，因而。10.粒子自旋处于的本征态，试证明和的不确定关系解：。但（常数），，所以。5同理，。所以。四、计算题11.氢原子处于状态，①求轨道角动量的分量的平均值；②求自旋角动量的分量的平均值；③求总磁矩的分量的平均值。解：①

3、。②。③。12.考虑在无限深势阱（）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。解：二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为（1）基态：。空间部分波函数是对称的：。5自旋部分波函数是反对称的：。总波函数。（2）第一激发态：。空间部分波函数：，。自旋部分波函数：，。二电子体系的总波函数基态不简并，第一激发态是四重简并的。13.对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，为参数。用变分法求基态能量。解：设基态波函数，归一化，得5取则有（1）由得考虑在处要求有限的

4、条件，取（2）代入式（1），得谐振子（一维）基态能量（3）与严格解求得的结果完全一致。5