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1、考试题一、求证:中有无穷多个平方数.二、求所有函数,在零点连续,且三、如果素数p和自然数n满足,证明:四、设ABCD为凸四边形,AC交BD于P.的内心依次为.求证:四点共圆当且仅当ABCD有内切圆.6一、求证:中有无穷多个平方数.引理:有无穷多组正整数解.证明:首先有.令.设(u,v)是的一组正整数解,则若.令,则=显然.,故由无穷多组正整数解.引理得证.取足够大的N,使得时,考虑.所以.为完全平方数.证毕!二．求所有函数,在零点连续,且(*)解:令（1）6而所以f(0)=0由(1)有f(2f(y))=y+f(y)(2)在(*)中令故f(f(y)=f(f(y))+y+f(y)再在(*)中令y=
2、f(x)f(x+2f(f(x))=f(f(x))由(*)中f(x)为单射,故x+2f(f(x))=f(x),将x换成y,有(2')(3)所以由(2)有f(4f(f(y)))=f(2f(2f(y)))=2f(y)+f(2f(y))=2f(y)+2f(f(y))=3f(y)+y另一方面f(4f(f(y))=f(2(y+f(y))=f(2y)+y+f(y)所以f(2y)=2f(y)(4)故由(*)及(4)有f(x+f(2y))=f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)=f(x)+2f(f(y))=f(x)+f(f(2y))所以f(x+f(y))=f(x)+f(f(y))(5)于是,易知:f(kf
3、(y))=kf(f(y))f(ky+y+f(y))=f((k+1)y)+f(f(y))=f(ky+f(f(2y)))==所以f((k+1)y)=f(ky)+f(y)f(ky)=kf(y)当时,亦有f(ky)=kf(y)(6)(由(2'))所以f(x+y)=f(x+f(2f(y)y))(由(5))=f(x)+f(y)由于f(x)在零点连续,所以f(x)在所有点连续,故6f(x)=cx(c为常数)解得c=1或所以经检验均满足条件.三．如果素数p和自然数n满足,证明:证明:引理:引理的证明,只要证明而=(李善兰恒等式)=引理证毕.对原命题:中的系数因故无素数因子p,而故中必有一数大于p,从而,故6,
4、又.证毕.四．设ABCD为凸四边形,AC交BD于P.的内心依次为.求证:四点共圆当且仅当ABCD有内切圆.证明:先证明必要性.当四点共圆时,(1)设PA=x,PB=y,PC=z,PD=w.AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.(为的半径)从而可知(1)(2)故(2)(3)设a+c,则因为故6(由(3)式,有:它们均等于1,.必要性证毕.充分性.由上述证明可以知道,从而(2)成立.得出四点共圆,证毕.6
