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1、1设G是△ABC的重心，M、N分别是AC、AB的中点．设△ANC和△AMB的外接圆相交于A和P，AMN的外接圆交AP于T．证明为定值．2设S为整数集，S≠Z(所有整数)，满足：对"x,yÎS(可以相同)有x2－yÎS．证明：对"x,yÎS，若x,y的最大公因子(x,y)=1，则(x－2,y－2)>1．3、某种彩票的对奖号是的排列，购买彩票时号码可自选，开出的中奖号也是的排列，如果对奖号与中奖号有数在同一位置上即为中奖。为确保中奖，最少得买多少张彩票？4、设证明，对于S中任何1000个数。其中必有六个数，它们的乘积是某正整数的六次方。20081209上午1．设G是△ABC的重心，M、N分别是AC
2、、AB的中点．设△ANC和△AMB的外接圆相交于A和P，AMN的外接圆交AP于T．证明为定值．解：如图，记∠CAP=a,∠BAP=b，由A、M、P、B；A、N、P、C；A、M、T、N三组四点共圆可知∠PAM=∠MNT=∠MBP=a,∠NAT=∠NMT=∠BMP=b．所以△NMT∽△NCP,=．由∠MNT=∠CNP=∠TNP=∠MNC．所以△TNP∽△MNC,=．同理=．所以BN=AB,CM=AC，推出=．在圆AMTN中，有=．下面证明∠BAG=a=∠CAT．在BC上取一点Q，使∠CAB=b，则∠BAQ=a．由正弦定理得=,=．相除得===．所以CQ=BQ．又G在AQ中线上，所以∠BAG=a=∠
3、CAT．设AG交NM于S，则S为MN的中点．由∠ATN=∠AMS,∠NAT=b=∠SAM得△ATN∽△AMS．所以==．由=,AM=MC得到AT=2TP．故=．2．设S为整数集，S≠Z(所有整数)，满足：对"x,yÎS(可以相同)有x2－yÎS．证明：对"x,yÎS，若x,y的最大公因子(x,y)=1，则(x－2,y－2)>1证：若存在(a,b)=1，(a－2,b－2)=1，a,bÎS，则证明S=Z．令T={x2－y2
4、x,yÎS}．若T中有若干个数a1,…,am满足(a1,a2,…,am)=1，则设ai=xi2－yi2(xi,yiÎS)．因(a1,a2,…,am)=1，所以存在l1,l2,…
5、,lmÎZ，使l1a1+l2a2+…+lmam=1．由于aÎTÛ－aÎT．可设li(i=1,…,m)为正数．对"xÎS，yi2－xÎS，xi2－xÎS，则xi2－(yi2－x)ÎS,yi2－(xi2－x)ÎS．所以x+aiÎS,x－aiÎS(i=1,2,…,m)．推出x+l1a1+…+lmamÎS,x－(l1a1+…+lmam)ÎS，即x+1ÎS,x－1ÎS．从而易知S=Z．故存在质数p，p整除于T中的每一个数．a,bÎSÞa2－b,b2－aÎS．p
6、a2－b2,p
7、(a2－b)2－b2=a4－2a2b,p
8、(b2－a)2－a2=b4－2b2aÞp
9、a4－2a2b－(b4－2b2a)Þp
10、2a
11、b(b－a)．若p
12、2，则p=2,2
13、a4,2
14、b4与(a,b)=1矛盾；若p
15、a，则p
16、a2－b2Þp
17、b，矛盾．同理p∤b，所以p
18、b－a．由p
19、a4－2a2bÞp
20、a4－2a2(b－a)－2a3Þp
21、a3(a－2)．由于p∤a，所以p∤a3Þp
22、a－2．同理p
23、b－2，故(a－2,b－2)≥p>1．3、某种彩票的对奖号是的排列，购买彩票时号码可自选，开出的中奖号也是的排列，如果对奖号与中奖号有数在同一位置上即为中奖。为确保中奖，最少得买多少张彩票？解：26张，此26张中的每张前26个数字为1，2，…，26排列如下：1，2，…，26；2，…26，1；3，…，26，1，2；…，26，1，…，
24、25。而后面只有24个位置，不可能满足1，2，…26都在这些位置上，∴必有一张中奖下证对任何25张彩票，不中奖的可能。设每张彩票对应数组设中奖彩票为，满足显然每个数至少可填在25个不同位置上,1，2，…，25填入，不会产生问题。现设填入成立，证明也可填入若在剩下位置上可填，如不能，则剩下（50-k）个位置上，存在中的某个数,任选一个位置填入已填的位置上,含k+1的至多（k-25）个，不含k+1的至少25个。考虑这25个位置上的数，∵对于（50—k）个位置上的每个位置。除了至多还有24个不同数，则可从25个位置上的某位置的数与所在位置上的数调换，则满足到，成立。所以可构造一个中奖彩票使25张彩票
25、不中奖。4、设证明，对于中任何1000个数。其中必有六个数，它们的乘积是某正整数的六次方。证：（1）对800个数，每个数的质因子都个数。乘积是某正数的三次方。小于15的质数有2，3，5，7，11，13共6个。记800个数为（ⅰ）某个数为立方，不妨设为，将每个数质因数乘积形式中各质因数的次数组成的数组表示该数。按的剩余等，共计种。除（外两两之间与配对以上共计365组∴必两数便两数为一对，不妨设为（若
