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1、武鸣中学数学组内部资料整理者：卢金迪(2011-2-23)空间向量解立体几何题讲义【提纲】一、回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）1、空间直角坐标系2、空间向量的坐标表示及运算3、空间向量的数量积、模及夹角公式4、空间向量的平行和垂直的充要条件5、直线的方向向量6、平面的法向量7、空间向量的应用（1）证明：平行；垂直（2）计算：角；距离【教学过程】一、复习回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、
2、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）（一）空间直角坐标系1、建立以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，即三条坐标轴．称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面，如图所示。注：作空间直角坐标系时，一般使（或），。2、（正交）基底用表示（二）空间向量的坐标表示及坐标运算1、坐标表示给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组第15页共15页武鸣中学数学组内部资料整理者：卢金迪(2011-2-2
3、3)，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．若，则，如右图所示。若，，则，如右下图所示。2、坐标运算若，，则（1）（2）（3）（三）空间向量的数量积、模及夹角公式1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝规定：零向量与任一向量的数量积为02、模长公式：，其中3、夹角公式：（四）空间向量的平行和垂直的充要条件1、2、，其中是两个非零向量）（五）直线的方向向量把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量（六）平面的法向量若表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，
4、如果，那么向量叫做平面的法向量。在空间求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。法2：（待定系数法）步骤：①建立空间直接坐标系；②设平面的法向量为；③在平面内找两个不共线的向量和；④建立方程组：；第15页共15页武鸣中学数学组内部资料整理者：卢金迪(2011-2-23)⑤解方程组，取其中的一组解即可。（七）空间向量的应用1、证明平行和垂直（1）证明两直线平行已知两直线和,,则存在唯一的实数使（2）证明直线和平面平行已知直线和平面的法向量,则∥（3）证明两个平面平行已知两个不重合平面,法向量分别为,则∥∥（4）证明两直线垂
5、直已知直线，，则（5）证明直线和平面垂直已知直线和平面，A、B,平面的法向量为,则∥（6）证明两个平面垂直已知两个平面和及两个平面的法向量，,则2、求角与距离（1）求两异面直线所成的角已知两异面直线，且，则异面直线所成的角的计算公式为：（2）求直线和平面所成的角已知A,B为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为:①当时，；②当时，（3）求二面角已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补,即或注:如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系？①通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再由法向量成的角来定之。②通过
6、观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。（4）求两条异面直线的距离已知两条异面直线,是与两条异面直线都垂直的向量,且，则两条异面直线的距离为第15页共15页武鸣中学数学组内部资料整理者：卢金迪(2011-2-23)推导：作，垂足为，连结，即为所求，设，则（5）求点到面的距离已知平面和点，,为平面的法向量，则点到平面的距为推导过程：类似上面方法三、例题选讲例1（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面是四边长均为1的菱形，,,,为的中点，为的中点（Ⅰ）证明：直线（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；（Ш）求点到平面的距离.第15页共15页武鸣中
7、学数学组内部资料整理者：卢金迪(2011-2-23)例2（2005湖南文、理）如图1，已知是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小.ABCDOO1ABOCO1D例3(2007四川理）如图，是直角梯形，，∥，，，又，，，直线与直线所成的角为60°（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积.第15页共15页武鸣中学数学组内部资料整理者：卢金迪(2011-2-23)四、练习题1、（2006福建文、理）如图，四面体中，、分别是、的中点，,.（I）求证：平面；（II）求异面直线
8、与所成角的大小；（III）求点到平面的
