数学建模论文(对策论)定稿

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1、对策论的浅谈LF2011080006对策论的浅谈河北省廊坊市管道局中学初二（1）班乔子涵指导老师：苏秀珍摘要：对策论是现代数学的一个重要分支，在军事、公安、经济和日常生活各个方面，都很有用处。以解决一个侦查员跟踪间谍的事件做切入点，将“石头剪子布”游戏作为数学模型，引入表上游戏与混合策略，利用数学方法解决实际的对策论问题。关键词：对策论；表上游戏；混合策略。一、问题的提出侦查员小王接到命令，去跟踪一个重要的间谍“熊”。现在，“熊”在一间密室里和另外两个间谍碰头。小王只知道“熊”是3个人中最高的一个，但是无法看到他们3个人碰头的情况，因而也不知道3个人中哪个身材最高。小王只能在门口

2、等待他们出来。他想：这三个间谍如果不一块出来，可能最先出来的是“熊”，也可能最后出来的是“熊”，也可能中间那一个是“熊”，我应该跟踪哪一个呢？3个间谍在密室里也考虑呢，为了防备外面有人盯梢，谁先出去好呢？这就是一个对策论的问题。对策论是现代数学的一个重要分支，在军事、公安、经济和日常生活各个方面，都很有用处。由于对策论经常用智力游戏——打扑克、下棋等做模型，所以又叫博弈论。博就是赌博，弈就是下棋。其实，赌博如果去掉输赢财物的规定，就是智力游戏。一般的对策问题都是这样：双方各有一些可以采取的策略，一旦双方的策略都确定了，就会出现一定的结果，问题是双方怎样找到最好的策略？二、问题的分

3、析与建模我们平时玩的“石头、剪子、布”手势9对策论的浅谈游戏，就可以作为对策论的一个例子：在这个问题里，甲和乙各有3种可以采取的策略。结果如何？我们列出一个输赢表来。乙石头剪子布甲甲石头01-1剪子-101布1-10这是甲的得分表。“0”表示平局，“-1”表示输，“1”表示赢。我们把对策论问题列成这样的表，就成了“表上游戏”。这种表是由若干行和若干列数字组成。甲可以指定其中的某一横行，乙可以指定其中的某一直行。规定他们同时说出他们指定的横行和直行。在这两行的交叉点上的数，就是甲得到的分数。例如在这个表格里：01-1-10-1101如果甲指定第一横行，乙指定第一直行，甲就得到0分，

4、也就是说平局。好了，现在我们为对策问题找到了一个数学模型。有了数学模型，我们就可以暂时丢开原来的什么“熊”呀，手势呀等问题，全力以赴去解决这个数学模型中的问题了。在表上游戏中，怎样找出最好的策略？9对策论的浅谈我们继续研究前面提出的那个表上游戏：01-1-1-101-11-10-1111现在我们在每一横行的后面和每一直行的下面，又写上了一个数。每个横行后面写的数，是这一行中最小的数；每个直行下面写的数，是这一行中最大的一个数。从甲的立场看，不管乙采用什么对策，他随意指定一个横行，那么对自己最不利的结果是-1，就是说输1分，但每一横行的最坏结果都是如此。从乙的立场看，如果他随意指定

5、一个直行，那么对自己最不利的结果是1，就是说输1分，可见每一直行的最大数表示的是：如果乙指定了这一行，可能发生的最坏结果是什么。那么甲乙双方该怎样选择策略呢？首先，一个人不能总是指某一行，被对方发现规律就会一败涂地。双方要斗智，大家就得不断改变自己的策略。这就需要用到混合策略了。三、混合策略假设甲方用20比30比50的概率混合自己的策略，乙方用30比40比40的概率混合自己的策略，那么上表就变成了：9对策论的浅谈0.40.30.40.200.0610.08-10.080.3-10.0900.1210.120.510.15-10.200.2这个表的左边和上边分别表示甲乙各以什么概率

6、来混合策略。在每一个数下面写一个数，这个数是这一横行最左边的数和这一直行最上边得数的乘积，比如0.3×0.2=0.06。这些数表示出现各种结果的机会有多大。甲全盘平均得的分数将是：把每一个数和它下面得数相乘加在一起：（乘0省略）1×0.08+(-1)×0.08+(-1)×0.09+1×0.12+1×0.15+(-1)×0.2=-0.02我们可以得出一个公式：如果甲的三种策略分别以A、B、（1-A-B）的概率出现，而乙用X、Y、（1-X-Y）的概率混合自己的策略，那么，用上面的方法可以算出，平均每盘甲可以得的分数是：AY-A(1-X-Y)-BX+B(1-X-Y)+X(1-A-B)-

7、Y(1-A-B)=3AY-3BX-A+B+X-Y当A=B=，原式=0。这说明，如果甲以、、9对策论的浅谈的混合策略来做游戏，不管乙用何种策略，若干盘游戏的结果下来就是平局，即甲、乙不输不赢。即使乙了解甲的这个比例，那也没有关系。乙呢？最好也是按比比的比例来混合自己的策略。因为X=Y=时，原式=0。这个比例也不怕甲知道。反过来，如果甲或者乙按别的比例来混合自己的策略，他就可能受到额外的损失。比如说乙要按0比比的比例来混合自己的策略，也就是说固定选取第二、第三直行。那甲就可以固定选取