【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 正态分布

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1、12.7正态分布一、选择题1．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝(　　)A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析通过正态分布对称性及已知条件得P(X＞4)＝＝＝0.1587，故选B.答案　B2.设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为()A.B.C.D.解析函数不存在零点,则因为，所以答案C3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(

2、ξ－μ

3、＜σ)等于(　　)．A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．Φ(1)－Φ(－1)

4、C．ΦD．2Φ(μ＋σ)解析　由题意得，P(

5、ξ－μ

6、＜σ)＝P＝Φ(1)－Φ(－1)．答案　B4．已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于(　　)．A．0B．1C．2D．4解析　由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝σ2＝4，∴D(η)＝1.答案　B5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为(　　)．A．0.9987B．0.9974C．0.944D．0.8413解析　标准正态分布N(0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率P＝0.9974.答案　B6．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2

7、,3)的图象如图所示，则(　　)．A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析　正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.答案　D7．在正态分布N中，数值

8、前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为(　　)．A．0.097B．0.046C．0.03D．0.0026解析　∵μ＝0，σ＝∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.答案　D二、填空题8.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________.答案0.79．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析　由题意知，P(ξ＞1

9、10)＝＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.答案　1010．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析　∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.∴X在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案　0.811．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(

10、ξ

11、＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号

12、是________．答案　①②③12．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是________．解析　P(9.8

13、)＝0.9544，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544－0.6826＝0.2718，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1359.14．若一批白炽灯共有10000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)209－6～209＋6；(2)209－18～209＋18.解析　由于X的概率密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝