等比数列的前n项求和解题思路

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1、2．5　等比数列的前n项和等比数列前n项和公式的基本运算【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.解：(1)由题意知，解得或，从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.(2)法一：由题意知，解得，从而S5＝＝.法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而或又Sn＝

2、＝126，解得q＝2或q＝，所以q为2或.变式训练11：数列{an}为等比数列，各项均大于0，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q.解：∵S2n＞2Sn，∴q≠1.依题意，得得，qn＝81，∴q＞1，故前n项中an最大．∴an＝a1·qn－1＝54，∴×81＝54.③将qn＝81代入①得a1＝q－1.④③④联立解得等比数列前n项和性质的应用【例2】已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.思路点拨：法一：→→→法二：→→解：法一：设公比为q，则得1＋q10＝3，∴q10

3、＝2，∴S30＝＝(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝，即S30＝70.等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，(2)公比为q.①若共有2n项，则＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项

4、的和与以后依次m项的和构成等比数列变式训练21：等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.解：法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1，由知∴＝91，∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3，∴S4＝＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28.∴S4＝28.法二：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，∴S4＝28.错位

5、相减求和问题【例3】求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和．思路点拨：分析通项公式的结构特征，一个因式2n－1，另一个因式an－1，联想推导等比数列前n项公式的方法，即错位相减法求和．解：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)则Sn＝＝n2，当a≠1时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②①－②得：Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)

6、＝1－(2n－1)an＋2·＝1－(2n－1)an＋又1－a≠0，∴Sn＝＋.当a＝1时，Sn＝n2当a≠1时，Sn＝＋(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比是负数的情形更值得注意．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”．以便于下一步准备写出“Sn－qSn”的表达式．(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．变式训练

7、31：求1＋2x2＋3x4＋…＋10x18的和解：当x＝±1时，数列变为1,2,3,4，…，10，所以S10＝＝55，当x≠±1时，S10＝1＋2x2＋3x4＋…＋10x18，①x2S10＝x2＋2x4＋3x6＋…＋9x18＋10x20，②(1－x2)S10＝1＋x2＋x4＋…＋x18－10x20＝1－10x20＋(x2＋x4＋…＋x18)＝1－10x20＋又x2≠±1，∴S10＝＋.综上可得，当x≠±1时，S10＝＋，当x＝±1时，S10＝55.等比数列前n项和的实际应用【例4】某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为0