三等分角问题证明

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1、中華民國第四十二屆中小學科學展覽會作品說明書科別：數學組別：國中組作品名稱：希臘人也瘋狂關鍵詞：三角等分編號：7希臘人也瘋狂校名：台中縣立潭子國民中學作者：指導教師：魏碩辰關鍵詞：尺規作圖、可造數、體擴張（fieldextensions）理論、Fermat（費瑪）質數研究摘要：在古希臘人對於作圖的限制下：一、作圖時只准許使用直尺和圓規；二、直尺不能有任何刻度，而且直尺和圓規都只准許使用有限次。探討五個尺規作圖基本動作的代數性質，從而說明僅使用圓規、直尺是無法三等分角的。藉由正多邊形的尺規作圖討論，找出可造的最小角度為3º角，進而說明可以尺規作三等分的特

2、殊角為9º的倍數角。壹、研究動機：平日喜歡閱讀數學相關科普書的我，在一本介紹數學史的書中，發現一個非常吸引我的標題－「三大幾何難題」，由於現在我正在學尺規作圖，興致勃勃的我拿著圓規、直尺就想試著三等分一個角，未料卻被念數學系的哥哥見著，他笑著說：「別浪費時間了！那個問題早就被證明作不出來了。」這答案著實地讓我覺得驚訝，因為我以為解數學題就是依照題目的意思把解答找出來，居然還可以「證明」命題作不出來，好奇的我便對「三等分角」作一次深入的探討，一窺它的奧祕。貳、研究目的：一、在古希臘三大幾何難題的原始命題下，探討三等分角的不可能性。二、找出可三等分的特殊角

3、度，以及在不同命題的情況下，探討三等分角的可能性。參、研究設備與器材：紙、筆、圓規、直尺、動態幾何（GSP）。肆、研究過程與方法：Part1尺規作三等分角的不可能性一、單純、原始及幾近理想化的尺規作圖：(一)以一把圓規及沒有任何刻度的直尺要三等分角，其限制如下：1.過已知兩點，劃出一條直線。2.給定一點及一線段，劃出一圓使得該圓以給定的點為圓心、給定的線段為半徑。3.劃出二直線的交點。4.劃直線與圓的交點。5.劃出二圓的交點。(二)有了這五個基本動作，我們可以完成如下幾個複雜的作圖：1.二等分一個給定角。2.作出長度為的線段。3.作出長度為的線段。二、

4、可造數與不可造數：由上我們可以給定一個線段長為單位長17，並把那些可經由上述尺規作圖而作出的長度或角度，稱為「可造的」；其他不能經由上述五個尺規作圖的基本動作作出來的長度，稱為「不可造的」。一、可造數的若干性質：性質一：可造數經過四則運算後仍然是可造的。而這樣一個可造數的集合形成一個代數體(field)。性質二：每一個有理數都是可造的。證明：1.因為單位長1是可造的，所以任意正整數及負整數都是可造的。2.有理數是經由整數相除得來的，由性質一，我們知道所有有理數都是可造的。性質三：如果a是可造的，則也是可造的。作法：以1＋a為直徑作一半圓，設端點為A、C

5、，在與C相距單位長1之處作B，並以B為垂足，作交半圓於D，則＝為所求。證明：1.如圖所示，△ABD相似於△DBC，則，。2.因為，，所以得證。性質四：如果a、b、c是可造的，且方程式a＋bx＋c＝0有實根，則方程式的根必為可造的。證明：1.如果a＋bx＋c＝0的解依公式解為x＝，因為a、b、c是可造的，所以b－4ac也是可造的。（性質一）再者，也是可造的。（性質三）2.又a、－b、皆為可造數，所以是可造的。二、在笛卡兒直角座標系上討論尺規作圖的五個基本動作：1.過已知兩點，劃出一條直線。證明：若、、、都是可造的，則過兩點(，)、(，)的直線方程式為，化

6、簡為ax＋by＝c，其中a＝－，b＝－，c＝(－)－(－)，則a、b、c皆為可造的，又直線是點(x，y)的軌跡，所以x、y亦為可造的。2.給定一點及一線段，劃出一圓使得該圓以給定的點為圓心、給定的線段為半徑。證明：如果、、都是可造的，給定一定點及一線段其兩端點為、，則以給定的點為圓心、給定的線段為半徑，圓方程式為+，化簡得的形式，因為、、，所以、、都是可造的。3.劃出二直線的交點。證明：如果、，都是可造的，二直線，7的交點為、，其中、、，皆為可造，則兩直線交點（x，y）亦為可造。1.劃直線與圓的交點。證明：如果都是可造的，直線與圓的交點，代入圓方程式中

7、可以化簡成的形式，其中的、、是可造的。得解也會是可造的，亦為可造。換句話說，如果直線方程式及圓方程式的係數如果都是可造的，那麼它們的交點坐標也一定是可造的。2.如果都是可造的，我們想要証明：圓及的交點，也是可造的。==>(2)－(1)得化簡的結果，得到一個圓方程式及一個直線形態的方程式，由4.推論得知兩圓交點座標為可造的。二、揭開不能用尺規三等分角的神祕面紗：定理：p(x)是一個不可以一次因式作因式分解的三次多項式，且各項係數都是有理數，則p(x)的解都是不可造的（尺規作圖）。證明：1.令是一個三次方程式的根，……(1)，若存在於一個體（field）F

8、中，則根據代數的體擴張（fieldextensions）理論，我們有：Q=，，且每一個，k=1