如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题

《如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？ 1）.先说明尺规作图可能问题： 　　一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。 2）.定理： 　　一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。 3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的： 　　如图：设已知角为3a,平分后的每一个角为a,作单位圆交角于A、B、C 过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E　， 令OD＝m,OE=x,则m=cos(3a),x=cosa,代入三角恒等式中： cos(3a)=4*(cosa)^3-3*cos

2、acos(3a)=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2sinacosasina=2cos³a-cosa-2cosa(1-cos²a)=2cos³a-cosa-2cosa+2cos³a=4cos³a-3cosa得：4x^3-3x-m=0 由于在一般的情况下4x^3-3x-m=0不是都有有理根(艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。　　艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式　　如果存在素数p，使得　

3、　p不整除an，但整除其他ai；p^2不整除a0，那么f(x)是不可约的。　　给了多项式g(x)=3x4+15x2+10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。　　试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数p=5。5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且52=25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。　　有时候不能直接用判别法，或者可以代入y=x+a后再使用。　　例如考虑h(x)=x2+x+2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x+3)=x2+7x+14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但72=49不整除常

4、数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。　　艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下：　　对素数p，以下多项式在有理数域不可约。　　。要使用艾森斯坦判别法，先作代换x=y+1。新的常数项是p，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数，k大于0，所以可以被p除尽。) 所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。 林浩南