平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广

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1、平面向量三点共线定理的推论及空间推广南昌外国语学校梁懿涛邮编：330025地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校电话：13607917611电子信箱：liangyitao@tom.com一．问题的来源平面向量三点共线定理:对于共面向量,，则、、三点共线的充要条件是．二．问题的提出问题1.在上述定理中，如果、时，分别有什么结论？问题2.、有什么特定的意义吗？问题3.上述问题可以推广到空间吗？三．问题的解决推论1.对于不共线向量,若，则（1）点在直线外侧（不含点一侧）的充要条件是．（2）点在直线内侧（含点一侧）的充要条件是

2、．证明：（1）必要性：如图1-1，连OC交AB于点，则存在实数，使得，，，，．充分性：，存在，使得且．，在直线上，在直线外侧．同理可证（2）．进一步分析，得：推论.对于不共线向量,若，则（1）连接得直线，过点作平行于的直线，则、将平面分成三个区域，如图1-2点落在各区域时，、满足的条件是：（Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区：．特别地，当点落在上时，；当点落在上时，．（2）直线、将平面分成四个区域，如图1-3，则点落在各区域时，、满足的条件是：（Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区：；（Ⅳ）区：．证明略．推论2.若，，则，且当，则点在线段

3、上；当，则点在线段的延长线上；当，则点在线段的延长线上．证明：且，，，4。当时，与同向，如图2-1所示，则点在线段上；当时，与反向，且，如图2-2所示，则点在线段的延长线上；当时，与反向，且，如图2-3所示，则点在线段的延长线上．推论3.点是所在平面上且与不重合的一点，若，则，，．证明：只证的情形，其它情形可类似证明．由得，，存在点使得，且，，，如图3，，同理有，，命题得证．将以上结论拓展到空间，得：推论4.对于不共面的向量,若，则：（1）若，则点在平面上（空间向量基本定理）；（2）若，则点在平面的外侧（不含点O一侧）；（3）若

4、，则点在平面的内侧（含点O一侧）．证明：仿照推论1，略．推论5.对于不共面的向量，若，则（1），，；（2）；（3），，．证明：（1），，由推论3，可知结论成立．（2）由（1）得证．（3），同理可证，．推论6.已知四面体及与其顶点不重合的点，若，则．证明：只证的情形，其它情形可类似证明．4由，得，令，则四点共面，由推论5，，又，如图4，知，，同理可证，，，命题得证．四．结论的应用1．（2006年湖南（理））如图，∥，点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是；当时，的取值范围是．解析：由推论1及

5、推论，有，且当，有，即．答案为：，（，）．2．（2009年安徽卷（理））给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,则的最大值是________．解析：由推论3，，，设，，，，此时3．(2010年高考天津卷理)如图，在中，，，则=．解析：，由推论2，得，．答案：．4．（2011届黑龙江省哈尔滨三中高三10月月考理）如图所示，两射线与交于，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是.①；②；③；④；⑤．4解析：由推论1及推论，可知的系数要满足，适合的只有②．答案为②．5．（

6、江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟理）设点在的外部,且,则=．解析：由推论3，可知=．5.（2011届江苏省南京师大附中高三学情调研）设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是.解析：由推论1及推论，可知满足，表示点（）到的距离的平方，由线性规化知识可得所求的范围为．6．（自编题）已知点与四面体，且，则．解析：由推论5，，可知．7．（自编题）已知点与四面体，且，则=.解析：由推论6，可知.8．（自编题）已知点是四面体内一点（不包括边界），且，则点满足的概率是.解析：因为点是四面体内一点（不包括边界），由推论4，可知满

7、足，如图建立空间直角坐标系，表示正方体中三棱锥内部的区域，而表示以点为圆心，半径为的球体在正方体内部的区域，由几何概型知所求概率为．4