函数对称性与周期性关系要点

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1、2017年高考复习·数学函数对称性与周期性关系【知识梳理】一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义（略），请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数关于对称也可以写成或简证：设点在上，通过可

2、知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。若写成：，函数关于直线对称（2）函数关于点对称或简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。12@神马修罗ZJY2017年高考复习·数学若写成：，函数关于点对称（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。1、周期性：（1）函数满足如下关系系，则A、B、C、或（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2

3、(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）。如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为（以上）（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。一、两个函数的图象对称性12@神马修罗ZJY2017年高考复习·数学1、与关于X轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。3

4、、与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。4、与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。5、关于点(a,b)对称。换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。6、与关于直线对称。【典型例题】1. 定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。12@神马修罗ZJY2017年高考复习·数学证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。推论

5、，由显然[例1] 已知，满足且，当时，比较与的大小。解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。当时，   ∴ 即当时，     ∴ ，即 [例2] 函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为        。解：依条件，设，则，故12@神马修罗ZJY2017年高考复习·数学 [例3] 若的图象关于直线对称，则      。A.          B.       C.       D. 解：由得即∴  [例4] 设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为       。12@神马修罗ZJY2017年高考复习·数学A.18     B.12

6、      C.9       D.0解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。 [例5] 设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（    ）A. B. C. D. 解：由条件知图象关于直线成轴对称，又及时递增∴ ，故选C12@神马修罗ZJY2017年高考复习·数学2. 对称性与周期性的关系（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。证：（1）因图象关于及对称，则，，故得证（2）由图象关于对称

7、，有① 又由图象关于点对称，有，∴ ，，即以代有②由①和②  ③以代有又由③式 得证特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数推论，定义在R上的函数满足（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。12@神马修罗ZJY2017年高考复习·数学（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。证：（1）（2）             [例1] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，，求时，的解析式。解：由（1）（2）知，对任则，， [例2] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。解：设当时，