利用极点配置法设计调节器型系统

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1、利用极点配置法设计调节器型系统考虑如图4.2所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图4.2倒立摆系统希望在有干扰（如作用于质量m上的阵风施加于小车的这类外力）时，保持摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置x=0。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由于扰引起）时，用合理的阻尼（如对主导闭环极点有ζ=0.5），可快速地（如调整时间约为2秒）使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x=0）。假设

2、M、m和l的值为M=2千克，m=0.1千克，l=0.5米进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。对于给定的角度θ和（/或）角速度的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。此外，还要求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回到参考位置。该系统何初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的角θd总为零，并且所期望的小车的位置总在参考位置上。因此，该系统是一个调节器系统）。这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对任意极点配置的充要条件为系统状态完全能控。设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。

3、4.4.1数学建模当角度θ不大时，其数学模型为(4.19)(4.20)式（4.19）和(4.20)定义了如图4.2所示的倒立摆系统的数学模型（只要θ不大，线性化方程就是有效的）。式（4.19）和（4.20）可改写为(4.21)(4.22)式（4.21）可由式（4.19）和(4.20)消去得到。式（4.22）可由式（4.19）和（4.20）消去得到。从式（4.21）可得系统的传递函数为代入给定的数值，且注意到g=9.81米/秒2，可得显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s=-4.539），另一个极点在正实轴上（s=4.53

4、9），因此，该系统是开环不稳定的。定义状态变量为注意，θ表示摆杆围绕点P的旋转角，x表示小车的位置，将θ和x作为系统的输出，即又由于θ和x均是易于量测的量。由状态变量的定义和式（4.21）和（4.22），可得以向量-矩阵方程的形式表示，可得(4.23)(4.24)式（4.23）和（4.24）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。代入给定的M、m和l的值，可得于是，式（4.23）和（4.24）可重写为：式中采用下列线性状态反馈控制方案为此首先检验该系统是否状态完

5、全能控。由于的秩为4，所以系统是状态完全能控的。系统的特征方程为因此其次，选择期望的闭环极点位置。由于要求系统具有相当短的调整时间（约2秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于ξ=0.5），所以我们选择期望的闭环极点为(i=1,2,3,4），其中在这种情况下，μ1，和μ2是一对具有ξ=0.5和ωn=4的主导闭环极点。剩余的两个极点μ3和μ4位于远离主导闭环极点对的左边。因此，μ3和μ4响应的影响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为因此现采用能控标准形的方法来确定状态反馈增益矩阵K，即式中P由式（4.4）得

6、到，即这里Q和W分别由式（4.5）和(4.6)得出。于是变换矩阵P成为因此故状态反馈增益矩阵K为反馈控制输入为注意，这是一个调节器系统。期望的角θd总为零，且期望的小车的位置也总为零。因此，参考输入为零。