中考专题三_最短路线问题怎么出、怎么考、怎么解

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最短路线问题考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.ADEPBC2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A、B、C、D、3（动点，作A关于BC的对称点A＇，连A＇D交BC于P，涉及勾股定理，相似）4、（07南通）已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．ABO(第4题图)DxyABO(第28题图)Dxy·分析：转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同的数学问题13 之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。本例第三问比较灵活，需要同学们结合所学知识(特别要联想到三角形三边的关系及对称的相关知识)灵活运用．  解：(1)由A(0，1)、B(0，3)，得AB＝2．又△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，得AB=AC=2，故OC==，从而C(，0)．设直线BC的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝0,.故k=－．∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．(2)由抛物线y=ax＋bx＋c关于y轴对称，得b=0．又由该抛物线经过点A(0，1)、D(3，－2)，得c=1，9a+c=－2．解得a=－．∴抛物线的解析式为y=－x＋1．在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°；在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°，故CA是∠BCO的角平分线．从而直线BC与x轴关于直线AC对称，点P关于直线AC的对称点在x轴上，于是符合条件的P点就是直线BC与抛物线y=－x＋1的交点．设P点的坐标为(x,－x＋3)，代入y=－x＋1解得x=或x=2．∴P(，0)或P(2，－3)．(3)要求PM＋CM的取值范围，可先求PM＋CM的最小值．①当点P的坐标是(，0)时，点P与点C重合，故PM＋CM＝2CM．显然CM的最小值就是点C到y轴的距离．因为点M是y轴上的动点，PM＋CM没有最大值，故PM＋CM≥2；②当点P的坐标是(2，－3)时，由点C关于y轴的对称点C(－，0)，故只要求PM+MC的最小值．显然线段PC最短，易得PC=6，故PM+MC的最小值是6．同理PM＋CM没有最大值，PM＋CM≥6．  综上所述，当点P的坐标是(，0)时，PM＋CM≥2；当点P的坐标是(2，－3)时，PM＋CM≥6．   点评：本例不仅将传统的证明题改为以探究的形式进行考查，重点由论证转向发现、猜测和探究，体现了新课改的理念；而且要求利用轴对称和两点之间线段最短解决有关问题；此外，题目中还要运到分类讨论的思想，难度较大．在本例中，“动”是可变的条件，“静”是不变的条件，动静结合，以静制动，动中求静是解决运动问题的关键．  13 5、（09年新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．（1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；yOxPDB（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．解：（1）∵点是的中点，∴，∴．又∵是的角平分线，∴，∴，∴．3分（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．易知点的坐标为（2，2），故，作，∵是等腰直角三角形，∴，∴点的坐标为（3，3）．yOxDBPEFM∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为．又∵抛物线经过点和点，∴有解得∴抛物线的解析式为．7分（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．∵抛物线的顶点的坐标，点的坐标，设所在直线的解析式为，则有，解得．∴所在直线的解析式为．13 点满足，解得，故点的坐标为．的周长即是．（4）存在点，使．其坐标是或．14分6、（09湖北荆门）一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；第6题（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．7、（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．ACxyBOACxyBO13 解：（1）由题意得2分解得∴此抛物线的解析式为3分（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.（第24题图）OACxyBEPD设直线的表达式为则4分解得∴此直线的表达式为5分把代入得∴点的坐标为6分（3）存在最大值7分理由：∵即∴13 ∴即∴方法一：连结==8分∵∴当时，9分方法二：==8分∵∴当时，9分13 ((2)①图)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′((2)②图)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′8、（2009年衢州市）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；4x22A8-2O-2-4y6BCD-44(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．提示：第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。答案见参考图。①方法一，A′关于x轴对称点A〞，要使A′C+CB′最短，点C应在直线A〞B′上；方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=14／5，即抛物线左移14／5单位；②设抛物线左移b个单位，则A＇（-4-b,8）、B＇（2-b,2）。∵CD=2,∴B＇左移2个单位得到B″（-b,2）位置，要使A′D+CB＇最短，只要A′D+DB″最短。则只有点D在直线A″B″上。(第24题(2)①)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′(第24题(1))4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP解：(1)将点A(-4，8)的坐标代入，解得．……1分将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．　直线AP的解析式是．令y=0，得．即所求点Q的坐标是(13 ，0)．　(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=，　……1分故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，……2分此时抛物线的函数解析式为．……1分解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．直线A′′B′的解析式为．……1分要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，……1分将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．……1分(第24题(2)②)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；……1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．……1分点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为．……1分要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分　　　　　　　　　　　　　　　　　13 9、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，，，延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；　　　第（３）问，“确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短”转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小是“饮马问题”的变式运用；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°很关键.13 10、（2009恩施市）BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。第（3）问是“三折线”转“直”问题。再思考-------设计路线要根据需要设计，是P处分别往A、B两处送呢，还是可以先送到A接着送到B。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需考虑一个方案路线，P→A→B。解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,∴AC＝30在Rt△ABC中，AB＝50AC＝30∴BC＝40∴BP＝S1＝⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，又BC＝40∴BA'＝由轴对称知：PA＝PA'∴S2＝BA'＝∴﹥13 (2)如图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA'∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B∴S2＝BA'为最小（3）过A作关于X轴的对称点A',过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,A'B'＝∴所求四边形的周长为11、(09陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．12、（2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于______________；②四边形为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；（3）如图3，若：13 ，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．解:(1)－2；D；(2)；而在上，可得………2分…………………………………2分（3）当点在点的右侧时（如图1），设AC与BD交于点N，抛物线，配方得，其顶点坐标是（1，2）,∵AC＝2，∴点C的坐标为.……1分∵过点，∴解析式为，∴B（，∴D（，∴，∵点与点关于直线对称，∴，且∴四边形ABCD是菱形.∴PD＝PB.作交于点,则PD＋PH＝PB＋PH.要使PD＋PH最小,即要使PB＋PH最小，此最小值是点B到AD的距离,即△ABD边AD上的高.∵＝1,＝,,∴＝,故是等边三角形.………………1分13 ∴∴最小值为.………2分当点在点的左侧时（如图2），同理,最小值为.综上，点到点的距离和到直线的距离之和的最小值为.……………………………………1分13